Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Grenzwert einer Potenzfunktion

Grenzwert einer Potenzfunktion

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert, lim, Potenz

DanielT aktiv_icon

13:40 Uhr, 16.01.2017

Guten Tag,

Dies ist mein erster Eintrag, da ich auf der Suche nach einer Lösung bisher auf keine, Hilfe gestoßen bin. Nun brauche ich eure Hilfe.

Beim üben für eine Matheklausur bin ich auch die Grenzwertaufgabe

Lim

n

to inf

{(\frac{2 - n}{n + 3})}^{2 \cdot n + 3}

gestolpert, finde aber keine Lösung.

Mein Ansatz ist, dass ich das in die Form

{(1 + \frac{x}{n})}^{n} = e^{x}

bringen will, ich weiß aber nicht wie, da alle Unformungen scheitern.

Danke schonmal für jede Hilfe.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Potenzfunktionen (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ableitung an einer Stelle

Wie bestimmt man die Ableitung

f' (x)

einer Funktion

f (x)

an der Stelle

x_{0}

Grenzwert einer Funktion

Wie bestimmt man den Grenzwert einer Funktion?

Grenzwert mit l'Hospital bestimmen

Wie bestimmt man einen Grenzwert mit der Regel von l'Hospital?

Wie bestimmt man einen Grenzwert, bei dem

\frac{0}{0}

oder

\frac{\infty}{\infty}

herauskommt?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades durch?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades durch?

Edddi aktiv_icon

15:39 Uhr, 16.01.2017

. .

. ist das wirklich die Aufgabenstellung? Selbst Wolfram bringt ein komplexes Ergebnis.

Man kann es aber komischerweise auf was reelles Umformen - vielleicht schaut mal jemand über meinen Vorschlag:

\frac{2 - n}{n + 3} = - \frac{n - 2}{n + 3} = - \frac{n + 3 - 5}{n + 3} = - (1 - \frac{5}{n + 3})

Damit dann:

{(\frac{2 - n}{n + 3})}^{2 \cdot n + 3}

= {(- (1 - \frac{5}{n + 3}))}^{2 \cdot n + 3}

= {(- (1 - \frac{5}{n + 3}))}^{2 \cdot n + 6 - 3}

= \frac{{(- (1 - \frac{5}{n + 3}))}^{2 \cdot n + 6}}{{(- (1 - \frac{5}{n + 3}))}^{3}}

= \frac{{[{(- (1 - \frac{5}{n + 3}))}^{n + 3}]}^{2}}{{(- (1 - \frac{5}{n + 3}))}^{3}}

= \frac{{[({(- 1)}^{n + 3} \cdot {(1 - \frac{5}{n + 3})}^{n + 3})]}^{2}}{{(- 1)}^{3} \cdot {(1 - \frac{5}{n + 3})}^{3}}

= \frac{{[{(- 1)}^{n + 3}]}^{2} \cdot {[{(1 - \frac{5}{n + 3})}^{n + 3}]}^{2}}{{(- 1)}^{3} \cdot {(1 - \frac{5}{n + 3})}^{3}}

= - \frac{{[{(1 - \frac{5}{n + 3})}^{n + 3}]}^{2}}{{(1 - \frac{5}{n + 3})}^{3}}

= - \frac{e^{- 10}}{{(1 - \frac{5}{n + 3})}^{3}}

und mit

n \to \infty

dann

= - e^{- 10}

. .

. Autofill mit Excel allerdings bestätigt mir wieder das Ergebnis.

;-)

DanielT aktiv_icon

16:13 Uhr, 16.01.2017

Dankeschön.

Ja, das ist eine Aufgabe aUs einer Altklausur meines Mathe Professors.

Bei Wolfram hatte ich auch gesehen, dass ein komplexes Ergebnis die Lösung ist.
Deine Lösung sieht gut aus, aber für eine Erstsemester Klausur ein wenig zu hoch denke ich.

Ich werde meinen Prof. bei Gelegenheit mal fragen.

DanielT aktiv_icon

16:13 Uhr, 16.01.2017

rundblick aktiv_icon

17:02 Uhr, 16.01.2017

.
Darstellungs-Variante:

{(\frac{2 - n}{n + 3})}^{2 n + 3} =

{[(- 1) \cdot (1 - \frac{5}{n + 3})]}^{2 n + 3} =

{[(- 1) \cdot (1 - \frac{1}{\frac{n + 3}{5}})]}^{2 n + 3}

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . .

. setze

\to \frac{n + 3}{5} = m

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . .

. also

\to n = 5 m - 3

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . .

. und

\to 2 n + 3 = 10 m - 3

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . .

. dabei gilt: wenn

n \to \infty

dann auch

m \to \infty

\Rightarrow {[(- 1) \cdot (1 - \frac{1}{m})]}^{10 m - 3}

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . .

. da

\to 10 m - 3

ungerade

\Rightarrow {(- 1)}^{10 m - 3} = (- 1)

\Rightarrow (- 1) \cdot {[{(1 - \frac{1}{m})}^{m}]}^{10} \cdot {(1 - \frac{1}{m})}^{- 3}

... ... ... ... ...

. da

lim_{m \to \infty} {(1 - \frac{1}{m})}^{m} = e^{- 1}

....und....

lim_{m \to \infty} {(1 - \frac{1}{m})}^{- 3} = 1

\Rightarrow lim_{m \to \infty} (- 1) \cdot {[{(1 - \frac{1}{m})}^{m}]}^{10} \cdot {(1 - \frac{1}{m})}^{- 3} = (- 1) \cdot {(e^{- 1})}^{10} \cdot 1

\Rightarrow lim_{n \to \infty} [{(\frac{2 - n}{n + 3})}^{2 n + 3}] = - e^{- 10}

ok?

anonymous

22:25 Uhr, 16.01.2017

Hallo
Ich ahne, dass du die Aufgabenstellung nicht

100 %

vollständig aufgeführt hast.
Ich ahne, dass noch angemerkt war, dass

n

aus den natürlichen Zahlen stammt.
Dann - und nur dann - ist der Exponent

2 \cdot n + 3

stets eine ungerade natürliche Zahl,
und somit die

(- 1)

ausklammerbar zu:

lim_{n \to \infty} {(\frac{2 - n}{n + 3})}^{2 \cdot n + 3} = - lim_{n \to \infty} {(\frac{n - 2}{n + 3})}^{2 \cdot n + 3}

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1350164

1349987

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?