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Grenzwert einer Produktfolge

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert

scooop aktiv_icon

15:05 Uhr, 24.08.2018

Hi,

ich komme hier leider nicht weiter:

Bestimmen Sie die Grenzwerte für

n \to \infty

sofern existent von

(1 - \frac{1}{2}) \cdot (1 - \frac{1}{3}) \cdot (1 - \frac{1}{4}) \cdot . .

\cdot (1 - \frac{1}{n})

kann mir jemand dabei behilflich sein?

Viele Grüße

scooop

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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Bummerang

15:11 Uhr, 24.08.2018

Hallo,

\prod_{k = 2}^{n} (1 - \frac{1}{k}) = e^{ln (\prod_{k = 2}^{n} (1 - \frac{1}{k}))} = e^{\sum_{k = 2}^{n} ln (1 - \frac{1}{k})} = e^{\sum_{k = 2}^{n} ln (\frac{k - 1}{k})} = e^{\sum_{k = 2}^{n} (ln (k - 1) - ln (k))}

= e^{ln (1) - ln (n)} = e^{ln (\frac{1}{n})} = \frac{1}{n}

Geht natürlich auch direkt und einfacher, versuche es mal!

scooop aktiv_icon

15:26 Uhr, 24.08.2018

Das Umschreiben mit Produktzeichen habe ich auch schon vorgenommen. Weiter komme ich trotz deiner Lösung leider nicht.

Wie kommst du darauf hier

e^{ln}

zu verwenden?

Hast du zufällig eine Quelle für die verwendeten Regeln in den Schritten?

Den einzigen Schritt den ich nachvollziehen kann ist

1 - \frac{1}{k} = \frac{k - 1}{k}

und folgende

Vielen Dank schonmal für deine Lösung

Grüße
scooop

Bummerang

15:31 Uhr, 24.08.2018

Hallo,

es klang so, als würde das Produkt Dein Problem sein. Also wollte ich das Produkt in eine Summe umwandeln und dafür ist

e^{ln}

der Standard. Damit sind auch die ersten Schritte erklärt. Dann kommt der von Dir nachvollzogene Schritt. Dann Logarithmengesetze, dann Ziehharmonikasummenregl, dann wieder Logarithmengesetze.

scooop aktiv_icon

15:47 Uhr, 24.08.2018

Ok ich hab es fast :-)

ln (\frac{k - 1}{k}) = ln (k - 1) - ln (k);

weil

ln (\frac{u}{v}) = ln (u) - ln (v)

dann Ziehharmonikasummenregel??? Finde dazu auch leider nichts beim großen

G

und dann wieder

ln (1) - ln (n) = ln (\frac{1}{n})

weil

ln (u) - ln (v) = ln (\frac{u}{v})

dann

e^{ln (\frac{1}{n})}

das

e^{ln}

rauskürzen(?) und bekomme

\frac{1}{n},

was mir sagt , dass mein Grenzwert

gegen 0 geht, da

lim n \to \infty : \frac{1}{n}

gegen 0 geht?

Bummerang

15:54 Uhr, 24.08.2018

Hallo,

ln (1) - ln (n) = ln (1 - n)

habe ich nicht geschrieben, würde ich nie schreiben und Du schreibst das auch nie wieder! Das ist einfach großer Schwachsinn!

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15:55 Uhr, 24.08.2018

Habe es schnell herausbearbeitet und habe gehofft, dass du es nicht vorher liest :-)))))

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16:23 Uhr, 24.08.2018

Ich habe gerade mal zum weiteren Verständnis eine weitere Aufgabe probiert:

{(1 - \frac{1}{n})}^{n}

= \prod_{k = 1}^{n} (1 - \frac{1}{n})

jetzt bin ich mit deinem Ansatz weiter vorgegangen:

= e^{ln (\prod_{k = 1}^{n} (1 - \frac{1}{n}))} = e^{\sum_{k = 1}^{n} ln (1 - \frac{1}{n})} = e^{\sum_{k = 1}^{n} ln (\frac{n - 1}{n})}

= e^{\sum_{k = 1}^{n} (ln (n - 1) - ln (n))}

so jetzt kommt wahrscheinlich die Ziehharmonikasummenregel oder?

anonymous

16:23 Uhr, 24.08.2018

Hallo
Ich empfehle mal über einen Lösungsweg nachzudenken, der vielleicht schon hauchvoll anklang, aber doch in den Wirren der Abhandlungen nicht recht Beachtung fand.
Wenn du dir mal die ersten fünf oder acht oder siebzehn Glieder geschickt vor Augen führst, dann fällt dir vielleicht auf:

(1 - \frac{1}{2}) \cdot (1 - \frac{1}{3}) \cdot (1 - \frac{1}{4}) \cdot (1 - \frac{1}{5}) \cdot (1 - \frac{1}{6}) \cdot . .

= \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{6} \cdot . .

.

Na, muss ich noch weiter helfen?

scooop aktiv_icon

16:34 Uhr, 24.08.2018

Hallo 11engleich,

habe

\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot . .

. mal umgeformt zu

\prod_{k = 1}^{n} (\frac{n}{n + 1})

hilft mir aber leider nicht weiter, da ich genau wie oben ab dem Schritt

e^{\sum_{k = 1}^{n} (ln (n) - ln (n + 1))}

hänge

Was muss ich danach tun?

Viele Grüße
Scooop

anonymous

16:38 Uhr, 24.08.2018

Wie ich schon andeutete, sieht man manchmal den Wald vor lauter Bäumen nicht.
Überleg dir mal, was ihr in der 5. oder 6. Klasse über das 'Kürzen' gelernt habt.

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16:43 Uhr, 24.08.2018

Ich sehe ihn wirklich nicht, ich sollte mal Pause machen

anonymous

16:44 Uhr, 24.08.2018

ja unbedingt … :-)

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