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Grenzwert einer Reihe berechnen

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Tags: Grenzwert, Reihen

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HP7289

HP7289 aktiv_icon

17:19 Uhr, 06.12.2008

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Hallo,

ich soll eine unendliche Reihe berechnen. Bisher habe ich das bloß mit Partialbruchzerlegung gemacht, aber bei dieser Reihe geht das wohl anders.

\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{3 k + 3}{3^{k}}

Das Ergebnis ist mir bereits bekannt:

\frac{27}{4}

. Entscheidend ist der Lösungsweg.

Ich bin für jeden Ansatz dankbar.

MfG
Hannes

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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HP7289

HP7289 aktiv_icon

19:19 Uhr, 07.12.2008

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Vielleicht haben es ja nicht so viele mitbekommen. *push*

Antwort

gast01

gast01 aktiv_icon

20:40 Uhr, 07.12.2008

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hallo,

es ist

\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{3 k + 3}{3^{k}} = 3 \sum_{k = 0}^{\infty} (k + 1) \frac{1}{3^{k}} = 3 {(\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{3^{k}})}^{2} = 3 {(\frac{1}{1 - \frac{1}{3}})}^{2} = \frac{27}{4}

gruß

HP7289

HP7289 aktiv_icon

20:51 Uhr, 07.12.2008

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Den zweiten Schritt wüsste ich gern erklärt. Da komme ich nicht ganz mit.

Antwort

gast01

gast01 aktiv_icon

12:44 Uhr, 08.12.2008

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einfach mal das Cauchy-Produkt berechnen:

(\sum_{k = 0}^{\infty} x^{k}) (\sum_{k = 0}^{\infty} x^{k}) = \sum_{k = 0}^{\infty} \sum_{l = 0}^{\infty} x^{k} x^{l} = \sum_{n = 0}^{\infty} (\sum_{k + l = n} 1) x^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} (n + 1) x^{n}

Für

∣ x ∣ < 1

sind die Potenzreihen absolut konvergent. Damit ist auch die rechte Seite absolut konvergent und somit das umordnen und zusammenfassen ok.

Frage beantwortet

HP7289

HP7289 aktiv_icon

17:07 Uhr, 08.12.2008

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Ich habe es letzten Endes mit der Beziehung

\sum_{k = 0}^{\infty} (k + 1) \cdot q^{k} = \frac{1}{{(1 - q)}^{2}}

gelöst. Danke für die Hilfe.

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