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Grenzwert einer Reihe bestimmen

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Folgen und Reihen

Grenzwerte

Tags: Folgen und Reihen, Grenzwert

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16:42 Uhr, 24.09.2019

Hallo liebe Community,

ich habe folgende Aufgabe, mit der ich mich schwer tue.
Es soll die Reihe auf Konvergenz untersucht werden und ggfs. der Grenzwert bestimmt werden.

\sum_{k = 2}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{k - 2} \cdot 3^{k}}{4^{k - 1}}

Zuerst untersuche ich die Folge und prüfe, ob sie eine Nullfolge ist.

lim_{n \to \infty} \frac{{(- 1)}^{n - 2} \cdot 3^{n}}{4^{n - 1}} \Leftrightarrow lim_{n \to \infty} \frac{{(- 1)}^{n - 2} \cdot 3^{n}}{1} \cdot \frac{1}{4^{n - 1}}

Jetzt erkenne ich, dass

lim_{n \to \infty} \frac{1}{4^{n - 1}} = 0

ist.

Beschränkte Folge

\cdot

Nullfolge = Nullfolge
Null

\cdot

Nullfolge = Nullfolge

Daraus schließe ich, die ganze Folge hat den Grenzwert

lim_{n \to \infty} \frac{{(- 1)}^{n - 2} \cdot 3^{n}}{4^{n - 1}} = 0

und ist somit eine Nullfolge.
Ist das soweit richtig hergeleitet?

Jetzt zur Reihe:
Ich weiß, dass eine Reihe eine Nullfolge ist, wenn die zugrunde liegende Folge eine Nullfolge ist. Somit ist der Grenzwert der Reihe auch 0?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
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michaL aktiv_icon

16:59 Uhr, 24.09.2019

Hallo,

die Reihe ist im Wesentichen geometrisch. Daher ist ihr Grenzwert leicht zu bestimmen:

\frac{(- 1)^{k - 2} \cdot 3^{k}}{4^{k - 1}} = 4 \cdot {(- \frac{3}{4})}^{k}

.

Mfg Michael

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17:17 Uhr, 24.09.2019

Entschuldige, ich hatte oben etwas falsches angenommen.

Wenn die zugrunde liegende Folge eine Nullfolge ist, konvergiert auch die Reihe.

Könntest du mir bei der Umformung auf die Sprünge helfen? Wie werden denn diese komischen Exponenten aufgelöst?

michaL aktiv_icon

17:20 Uhr, 24.09.2019

Hallo,

> Wie werden denn diese komischen Exponenten aufgelöst?

Exponenten gibt's nur bei Potenzen. Also solltest du dir Potenzgesetze zu Gemüte führen.

Extra-Tipp: Versuche von rechts nach links umzuformen.

Mfg Michael

HAL9000

17:22 Uhr, 24.09.2019

> Wenn die zugrunde liegende Folge eine Nullfolge ist, konvergiert auch die Reihe.

Damit begibst du dich auf gefährliches Glatteis: Diese Aussage mag für geometrische Reihen zutreffen - allgemein für Reihen ist sie falsch. Das sollte man eigentlich in der ersten Lektion zu Reihen kennengelernt haben, die Harmonische Reihe

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k}

als Gegenbeispiel für diese deine Behauptung.

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17:50 Uhr, 24.09.2019

Also ich versuche es mal mit der rechten Seite:

\frac{{(- 1)}^{k - 2} \cdot 3^{k}}{4^{k - 1}} \Leftrightarrow \frac{{(- 1)}^{k - 2}}{1} \cdot \frac{3^{k}}{4^{k - 1}}

hier würde ich dann die

\frac{3}{4}

rausziehen um die gleiche Basis zu bekommen, damit ich die Exponenten subtrahieren kann.

\frac{{(- 1)}^{k - 2}}{1} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1^{k}}{1^{k - 1}}

\Leftrightarrow

\frac{{(- 1)}^{k - 2}}{1} \cdot \frac{3}{4} \cdot 1^{k - (k - 1)}

\Leftrightarrow

\frac{{(- 1)}^{k - 2}}{1} \cdot \frac{3}{4} \cdot 1^{- 1}

\Leftrightarrow

\frac{{(- 1)}^{k - 2}}{1} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{1^{1}} \Leftrightarrow \frac{{(- 1)}^{k - 2}}{1} \cdot \frac{3}{4}

Ich vermute mal, dass ich was falsch gemacht habe? Die

{(- 1)}^{k - 2}

bekomme ich so gar nicht weg?

@Hal9000
Dann ist das eine Notwendige Bedinung, dass wenn eine unendliche Reihe konvergiert, der limes von

a_{n} = 0

supporter aktiv_icon

17:58 Uhr, 24.09.2019

{(- 1)}^{k - 2} = \frac{{(- 1)}^{k}}{{(- 1)}^{2}} = {(- 1)}^{k}

michaL aktiv_icon

18:01 Uhr, 24.09.2019

Hallo,

hm, wenn "man" von Rechengesetzen spricht, meint "man" üblicherweise allgemein anerkannte. Du denkst dir offenbar selber welche aus.

Allgemein anerkannte (d.h. beweisbare) findest du auf
de.wikipedia.org/wiki/Potenz_(Mathematik)#Potenzgesetze .

Wenn du erklären kannst, mit welchem Gesetz du welche deiner Gleichheitszeichen begründen kannst, dann bin ich voll bei dir.

Da das Thema eher sehr einfach ist (nachdem man denn nun schon weiß, wie das umgeformte Ergebnis aussehen muss), glaube ich, dich auch mit einer Refenrenz auf die Gesetze allein lassen zu können.

Mfg Michael

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19:04 Uhr, 24.09.2019

ich betrachte jetzt mal nur die rechte Seite:

\frac{3^{k}}{4^{k - 1}}

\Leftrightarrow \frac{3^{k}}{4^{k}} \cdot \frac{1}{4^{- 1}} \Leftrightarrow \frac{3^{k}}{4^{k}} \cdot 4^{1} \Leftrightarrow {(\frac{3}{4})}^{k} \cdot 4

Linke Seite:

{(- 1)}^{k - 2} \Leftrightarrow {(- 1)}^{k} \cdot 1^{- 2} \Leftrightarrow \frac{{(- 1)}^{k}}{1^{2}} \Leftrightarrow {(- 1)}^{k}

Stimmt das soweit?

Darf ich

{(- 1)}^{k} \cdot 1^{- 2}

so durchführen? Bin mir unsicher wegen dem Vorzeichen.

Ich hätte dann:

4 \cdot {(\frac{3}{4})}^{k} \cdot {(- 1)}^{k}

und multipliziere die

{(- 1)}^{k}

mit drauf, da ich den gleichen Exponenten habe.

4 \cdot {(- \frac{3}{4})}^{k}

ermanus aktiv_icon

09:36 Uhr, 25.09.2019

Hallo,

(- 1)^{k - 2} = (- 1)^{k} \cdot 1^{- 2}

dürfte falsch gedacht sein.
Supporter hat dir gestern um 17:58 Uhr eine Möglichkeit gezeigt,
wie es richtig geht.

Deine Verwendung von Doppelpfeilen "

\overset{}{\Leftrightarrow}

" ist ganz unsinnig.
"

\overset{}{\Leftrightarrow}

" verwendet man, um die Äquivalenz von Aussagen auszudrücken.
Du möchtest aber doch die Gleichheit algebraischer Ausdrücke darstellen.
Dafür benutzt man das Gleichheitszeichen.
Gruß ermanus

HAL9000

16:53 Uhr, 25.09.2019

Zumindest darf man es korrigiert als

(- 1)^{k} \cdot (- 1)^{- 2}

durchführen. Zur sicheren Handhabung der Potenzregeln gehört nicht nur, dass man sich die entsprechenden Gleichungen einprägt, sondern auch, für welche Parameterkonstellationen man diese Gleichungen tatsächlich anwenden darf. Das ist z.B. im Fall der Regel

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

(die hier Anwendung findet) nicht ganz so trivial, wie es zunächst den Anschein hat: Sie ist anwendbar, wenn

1)

a > 0

ist sowie

b, c

beliebig reell

oder

2)

a \neq 0

ist sowie

b, c

beliebig ganzzahlig sind.

Hingegen ist sie für

a < 0

in Kombination mit nichtganzzahligen

b

oder

c

NICHT anwendbar - in diesem Fall sind ja sogar einige der Terme gar nicht als reelle Zahlen definiert!

Hier bei dir liegt offenbar Fall 2) vor, mit

a = - 1 < 0

sowie

b = n

und

c = - 2

ganzzahlig.

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