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Grenzwert einer Summe ermitteln

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen, Grenzwert, Reihen, Summe

saber aktiv_icon

22:55 Uhr, 01.01.2010

Hallo Leute,
langsam bin ich wirklich am verzweifeln

: - (

Ich habe folgendes Problem:

Berechnen Sie

\sum_{k = 2}^{\infty} \frac{1}{3^{k}}

Mit Berechnen ist hier wohl der Grenzwert gemeint. Und ich tüftle jetzt schon seit Stunden rum und komme weder zu einem Lösungsweg noch zu einem Ergebnis.

Hilfe wäre wirklich toll

: (

Liebe Grüße,
saber

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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Spieler5 aktiv_icon

23:06 Uhr, 01.01.2010

Schonmal was von der Geometrische Reihe und der allgemeinen Berechnung von ihr gehört?

Didgeridoo aktiv_icon

23:09 Uhr, 01.01.2010

Die Lösung lautet:

\frac{1}{6}

Es ist ja eine unendliche geometrische Reihe, die man mit

s = \frac{a}{1 - q}

a ist das erste Glied und

q

ist Faktor, den man jeweils mit dem vorangehenden Glied multiplizieren muss um das nächste zu erhalten.
Das

q

wäre in diesem Fall ja

\frac{1}{3},

denn

z . B

. gilt ja

\frac{1}{3^{2}} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3^{3}}

und das erste Glied ist ja

\frac{1}{3^{2}} . .

.
Nun in die Formel einsetzen:

s = \frac{\frac{1}{3^{2}}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{6}

Alles klar?

Gruss
Carina

saber aktiv_icon

23:55 Uhr, 01.01.2010

Ah super danke! Das mit den geometrischen Reihen hab ich jetzt verstanden (hoffe ich)

Aber wie gehe ich denn an Aufgaben ran, die keine geometrischen Reihen sind?

Die "ultimative Lösung" scheint es ja irgendwie nicht zu geben, oder?

Didgeridoo aktiv_icon

00:33 Uhr, 02.01.2010

Nun ja, es gibt wirklich kein allgein gültiges Rezept, um Partialsummen zu berechnen. An deiner Stelle würde ich als erstes mal schauen, ob es denn eine arithmetische oder geometrische Reihe ist und ob sie im Fall, dass sie eine geometrische Reihe ist, endlich oder unendlich ist. Entsprechend kannst du die Formeln anwenden.
Arithmetische Reihe: $s_{n} = n / 2 * (a_{1} + a_{n})$
Endliche geometrische Reihe: $s_{n} = a_{1} * (1 - q^{n}) / (1 - q)$
Unendliche geometrische Reihe: $s = a_{1} / (1 - q)$
Falls keines der drei Fälle zutrifft kann ich dir als einzigen Rat geben, logisch zu überlegen...
Liebe Grüsse
Carina

saber aktiv_icon

02:23 Uhr, 02.01.2010

Suuuper!
Du hast mir echt viel Zeit erspart :-) Ein großes DANKESCHÖN!!

Didgeridoo aktiv_icon

11:43 Uhr, 02.01.2010

Gern geschehen!!

saber aktiv_icon

11:49 Uhr, 03.01.2010

So, jetzt hab ich wohl tatsächlich so eine Aufgabe am Wickel, bei der ich keine Formel anweden kann.. schade. Das klappt jetzt immer so gut. Hehe..

Wäre toll, wenn ihr mir hier nochmal helfen könntet.

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k (k + 2)}

LG,
saber

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