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Grenzwert ermittlung Summenzeichen

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Tags: Grenzwert, Summenzeichen

Ice-Fachus aktiv_icon

19:31 Uhr, 13.12.2015

Guten Abend Leute,
ich komme bei einer Grenzwertbestimmung auf keinen grünen Zweig.

\sum_{k = 1}^{n} {\frac{{n}^{3}}{2 {n}^{4} + k}}

Mir fällt nicht mal mehr ein wie die Konvergenz zeigen könnte anhand von Kriterien...

Hilfe wäre super

. .

.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
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\frac{\infty}{\infty}

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Roman-22

20:38 Uhr, 13.12.2015

Was meinst du mit Konvergenz? Das ist doch eine endliche Summe.
Oder gehts um den Grenzwert dieser Summe für

n \to \infty

(der wäre

\frac{1}{2})

R

Ice-Fachus aktiv_icon

20:46 Uhr, 13.12.2015

Japp ich meinte den Grenzwert.... Wie kommst du auf

\frac{1}{2}

Roman-22

20:54 Uhr, 13.12.2015

>

Wie kommst du auf

\frac{1}{2}

?
Durch einen Denkfehler

: - (

Ich habs jetzt allerdings einem CAS anvertraut - und

\frac{1}{2}

ist tatsächlich das richtige Ergebnis ;-)
bild_1

Auch "zu Fuß" kommst du rasch auf dieses Ergebnis, wenn du die Summe geschickt zwischen zwei anderen Termen einzwickst.
Ersetze einmal

k

durch

n

und das andere Mal durch 0.

R

Ice-Fachus aktiv_icon

20:57 Uhr, 13.12.2015

:-D) aber ne Idee für einen Rechenweg Ansatz hast du nicht oder ?

Roman-22

20:59 Uhr, 13.12.2015

>

aber ne Idee für einen Rechenweg Ansatz hast du nicht oder ?

Doch, kam mir aber erst im zweiten Anlauf und ich hab meine vorige Antwort entsprechend ergänzt.

Das Bild hats vorhin auch nicht in den Beitrag geschafft, sollte lim

sein.

Ice-Fachus aktiv_icon

21:40 Uhr, 13.12.2015

\sum_{k = 0}^{n + 1} {\frac{{n}^{3}}{{2 n}^{4} + 0}} + \sum_{k = 1}^{n - 2} {\frac{{n}^{3}}{2 {n}^{4} + k}} + \sum_{k = n}^{n} {\frac{{n}^{3}}{{2 n}^{4} + n}}

Meintest du das so oder eher in einer Art Vergleichungssatz weil so damit kann ich noch nicht viel anfangen

. .

Roman-22

21:52 Uhr, 13.12.2015

>

Meintest du das so
Jein, eher nein, wegen der

+

Zeichen.

Wenn du

k

durch 0 ersetzt, dann machst du jeden Summanden größer und daher auch die Summe. Zwischen die ersten beiden Summen gehört also kein

+

sondern ein

\geq

Zeichen.
Ebenso muss das zweite

+

Zeichen durch ein

\geq

Zeichen ersetzt werden, da ja jetzt jeder Summand durch einen kleineren Ausdruck ersetzt wird.
Die Summanden der beiden neuen Summen sind aber von

k

unabhängig und können daher ganz ohne Summenzeichen geschrieben werden.

Mach das mal.

R

Ice-Fachus aktiv_icon

22:04 Uhr, 13.12.2015

\frac{{n}^{3}}{2 {n}^{4}} \geq \sum_{k = 1}^{n} {\frac{{n}^{3}}{{2 n}^{4} + n}} \geq \frac{{n}^{3}}{2 {n}^{4} + n}

\frac{{n}^{3}}{2 {n}^{4}} = a = \frac{{n}^{3}}{2 {n}^{4} + n}

a = 0

Aber ich komme jetzt dadrauf dass der Grenzwert 0 ist über den Vergleichssatz

Roman-22

23:56 Uhr, 13.12.2015

Du darfst doch bei deinen beiden Vergleichsreihen nicht einfach das Summenzeichen weg lassen und nur einen Summanden stehen lassen!!

\sum_{k = 1}^{5} 2

ist ja auch nicht 2 sondern

5 \cdot 2 = 10,

oder?

Wende das nun auf deine Summen an.

R

EDIT:
Es geht doch um die Kette

\sum_{k = 1}^{n} \frac{n^{3}}{2 n^{4} + n} \leq \sum_{k = 1}^{n} \frac{n^{3}}{2 n^{4} + k} \leq \sum_{k = 1}^{n} \frac{n^{3}}{2 n^{4} + 0}

Wobei die rechte Summe konstante

\frac{1}{2}

ergibt und auch die linke Summe sich vereinfachen und ohne Summenzeichen schreiben lässt.
Dann den Grenzwertprozess

n \to \infty

durchführen.
Die linke Summe strebt gegen

\frac{1}{2},

die rechte ist konstant

\frac{1}{2}

und da bleibt dem gegebenen Ausdruck auch nichts anderes übrig, als gegen

\frac{1}{2}

zu konvergieren.

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