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Grenzwert für 2^n/n! bestimmen

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert, lim

 
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Marcell025

Marcell025 aktiv_icon

19:41 Uhr, 17.10.2016

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Meine Frage ist zu folgender Folge:

bn:= 2nn!

Nun soll gezeigt werden, dass der Grenzwert dieser Folge Null ist, wenn n gegen unendlich strebt.

Meine Idee ist nun die folgende:

Ich habe im Nenner und im Zahlen jeweils genau n Faktoren:

2n⋅2n-1⋅2n-2.....21

Nun ist ja ersichtlich, dass der erste Faktor Null wird, da 2/unendlich 0 ist. Somit sind alle Faktoren 0, da ich mit 0 multipliziere.

Aber wie kann ich dies nun formal korrekt beweisen?



Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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Antwort
IPanic

IPanic aktiv_icon

19:50 Uhr, 17.10.2016

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2n⋅2n-1⋅.... ⋅22⋅21≤2n⋅2=4n

Also ist 0<2nn!≤4n und es ist limn→∞4n=0. Damit folgt das limn→∞2nn!=0
Marcell025

Marcell025 aktiv_icon

19:54 Uhr, 17.10.2016

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Vielen Dank für die rasche Antwort!

Aber ich verstehe noch nicht ganz, wie man darauf kommt, dass es

≤ 2n⋅2 ist
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IPanic

IPanic aktiv_icon

19:56 Uhr, 17.10.2016

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Die Faktoren 2n-1⋅... 23⋅22 sind doch alle ≤1. Und es gilt offensichtlich die Abschätzung x⋅c≤x für alle x>0,0≤c≤1.
Frage beantwortet
Marcell025

Marcell025 aktiv_icon

20:09 Uhr, 17.10.2016

Antworten
Vielen Dank für deine Hilfe!