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Grenzwert mit Potenzreihe berechnen

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert

chilldown18 aktiv_icon

18:10 Uhr, 16.03.2022

Ich sitz jz schon tage an dieser Aufgabe, aber komm nicht auf ein richtiges Ergebnis, kann mir vl jemand helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
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rundblick aktiv_icon

18:23 Uhr, 16.03.2022

.
"Ich sitz jz schon tage an dieser Aufgabe, aber komm nicht auf ein richtiges Ergebnis"

- woher weisst du denn, dass dein Ergebnis nicht richtig ist?

- hast du all die Tage noch nie versucht, deine hier vorgestellte Aufgabe
nicht im Sitzen, sondern im Liegen zu lesen?

- wie sieht das Original der Aufgabe aus?

.

HAL9000

23:10 Uhr, 16.03.2022

Sinnvoll erscheint hier, die Potenzreihendarstellung von Sinus und Kosinus zu nutzen:

1) Aus

\sin (t) = t - \frac{t^{3}}{6} + O (t^{5})

folgt

\frac{\sin (π \sqrt{x})}{π \sqrt{x}} = 1 - \frac{π^{2} x}{6} + O (x^{2})

2) Aus

\cos (t) = 1 - \frac{t^{2}}{2} + O (t^{4})

folgt

\cos (π \sqrt{x}) = 1 - \frac{π^{2} x}{2} + O (x^{2})

,

die Landau-Symbole selbstredend für

t \to 0

bzw.

x \to 0

aufgefasst. Beides in den Grenzwertterm eingesetzt und vereinfacht kommt man zum Grenzwert.

Und das nächste mal bitte den Scan gleich richtig gedreht posten: Wir wollen doch keine unnötigen Arztbesuche wegen verrenkter Halswirbel.

chilldown18 aktiv_icon

14:01 Uhr, 17.03.2022

Da ich die Lösung bereits kenne und meine nicht übereinstimmt.

Die Potenzreihen für

cos

und sin habe ich mit pi*Wurzel(x) eingesetzt, doch bin nicht auf das richtige Ergebnis gekommen. Diese Darstellung habe ich noch nie gesehen?

HAL9000

14:41 Uhr, 17.03.2022

Ok, man schreibt sich gewissermaßen einen Wolf, aber wirklich spannendes passiert nicht mehr:

lim_{x \to 0} \frac{π^{2}}{32 x} [\frac{15 x^{2} - 35 x + 8}{2 {(1 - x)}^{2} (4 - x)} \cdot \frac{\sin (π \sqrt{x})}{π \sqrt{x}} - \frac{\cos (π \sqrt{x})}{{(1 - x)}^{2}}]

= lim_{x \to 0} \frac{π^{2}}{64 x {(1 - x)}^{2} (4 - x)} [(15 x^{2} - 35 x + 8) \cdot \frac{\sin (π \sqrt{x})}{π \sqrt{x}} - (8 - 2 x) \cos (π \sqrt{x})]

= lim_{x \to 0} \frac{π^{2}}{256 x} [(15 x^{2} - 35 x + 8) (1 - \frac{π^{2} x}{6} + O (x^{2})) - (8 - 2 x) (1 - \frac{π^{2} x}{2} + O (x^{2}))]

= lim_{x \to 0} \frac{π^{2}}{256} [15 x - 33 + (15 x^{2} - 35 x + 8) (- \frac{π^{2}}{6} + O (x)) - (8 - 2 x) (- \frac{π^{2}}{2} + O (x))]

= \frac{π^{2}}{256} [- 33 - 8 \frac{π^{2}}{6} + 8 \frac{π^{2}}{2}] = \frac{π^{2} (8 π^{2} - 99)}{768}

chilldown18 aktiv_icon

16:45 Uhr, 17.03.2022

Okey danke, hab gerade gesehen, dass ich hoch 2 statt hoch3 geschrieben habe, aber ich werd das dementsprechend zur Übung jz nochmal versuchen, dankeee

HAL9000

17:15 Uhr, 17.03.2022

> dass ich hoch 2 statt hoch3 geschrieben habe

Du meinst bei einem der beiden

{(1 - x)}^{2}

? Das würde in der Tat etwas am Resultat ändern.

chilldown18 aktiv_icon

17:46 Uhr, 17.03.2022

Ja genau beim ersten Term steht 2*(x-1)³ statt hoch2

Ja ich werds nochmal probiern

chilldown18 aktiv_icon

13:54 Uhr, 18.03.2022

Sorry das ich mich jz doch nochmal melde, aber ich komm einfach nicht weiter…
Und so ganz verstehe ich oben auch nicht die art der cos und sin reihe, so habe ich sie noch nie gesehn und finde sie auch in meinen unterlagen nicht

HAL9000

14:02 Uhr, 18.03.2022

> Und so ganz verstehe ich oben auch nicht die art der cos und sin reihe

Was genau ist dir nicht bekannt? Die Art und Weise, den Reihenrest in Landau-Symbolen wie

O (t^{5})

bzw.

O (t^{4})

zu schreiben?

chilldown18 aktiv_icon

14:17 Uhr, 18.03.2022

Ja genau ich kenne das so nicht, wir schreiben es immer so, wie auf den letzten zwei bildern, also cos=1-(x^2)/2! Usw

HAL9000

14:42 Uhr, 18.03.2022

Ok, wenn du auf viel, ja sehr viel Schreibarbeit stehst, kannst du es natürlich auch so schreiben:

\sin (t) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{k}}{(2 k + 1)!} \cdot t^{2 k + 1} = t - \frac{t^{3}}{6} + \sum_{k = 2}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{k}}{(2 k + 1)!} \cdot t^{2 k + 1}

\frac{\sin (t)}{t} = 1 - \frac{t^{2}}{6} + \sum_{k = 2}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{k}}{(2 k + 1)!} \cdot t^{2 k}

Es folgt

\frac{\sin (π \sqrt{x})}{π \sqrt{x}} = 1 - \frac{π^{2} x}{6} + \sum_{k = 2}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{k}}{(2 k + 1)!} \cdot π^{2 k} x^{k}

.

Genauso folgt aus

\cos (t) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{k}}{(2 k)!} \cdot t^{2 k} = 1 - \frac{t^{2}}{2} + \sum_{k = 2}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{k}}{(2 k)!} \cdot t^{2 k}

dann

\cos (π \sqrt{x}) = 1 - \frac{π^{2} x}{2} + \sum_{k = 2}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{k}}{(2 k)!} \cdot π^{2 k} x^{k}

.

Jetzt kannst du diesen ganzen Rattenschwanz natürlich immer mitschleppen, wenn dir die einfachere Handhabung mit den Landau-Termen so missfällt:

lim_{x \to 0} \frac{π^{2}}{32 x} [\frac{15 x^{2} - 35 x + 8}{2 {(1 - x)}^{3} (4 - x)} \cdot \frac{\sin (π \sqrt{x})}{π \sqrt{x}} - \frac{\cos (π \sqrt{x})}{{(1 - x)}^{2}}]

= lim_{x \to 0} \frac{π^{2}}{64 x {(1 - x)}^{3} (4 - x)} [(15 x^{2} - 35 x + 8) \cdot \frac{\sin (π \sqrt{x})}{π \sqrt{x}} - (8 - 10 x + 2 x^{2}) \cos (π \sqrt{x})]

= lim_{x \to 0} \frac{π^{2}}{256 x} [(15 x^{2} - 35 x + 8) (1 - \frac{π^{2} x}{6} + \sum_{k = 2}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{k}}{(2 k + 1)!} \cdot π^{2 k} x^{k}) - (8 - 10 x + 2 x^{2}) (1 - \frac{π^{2} x}{2} + \sum_{k = 2}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{k}}{(2 k)!} \cdot π^{2 k} x^{k})]

= lim_{x \to 0} \frac{π^{2}}{256} [13 x - 25 + (15 x^{2} - 35 x + 8) (- \frac{π^{2}}{6} + \sum_{k = 2}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{k}}{(2 k + 1)!} \cdot π^{2 k} x^{k - 1}) - (8 - 10 x + 2 x^{2}) (- \frac{π^{2}}{2} + \sum_{k = 2}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{k}}{(2 k)!} \cdot π^{2 k} x^{k - 1})]

= \frac{π^{2}}{256} [- 25 - 8 \frac{π^{2}}{6} + 8 \frac{π^{2}}{2}] = \frac{π^{2} (8 π^{2} - 75)}{768}

.

An diesen Formel-Ungetümen sieht man, dass das mit den Landau-Symbolen vielleicht gar keine so schlechte Idee ist.

chilldown18 aktiv_icon

15:34 Uhr, 18.03.2022

Ahh ok, diese Schreibweise kenn ich, die steht auch in meinen Unterlagen, und ja das ist natürlich jz mehr.

Ich werd das gleich Beispiel jz auch noch mal in der anderen probieren und aufschreiben, und dann mal vergleichn.

Auf jeden Fall Danke für die ausführliche Hilfe

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