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Grenzwert von (n^3)/(n über 3)

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, Grenzwert, Konvergenz

Jonathan29 aktiv_icon

21:24 Uhr, 01.12.2015

Hallo,

(Anmerkung: Für

x

über

y

werde ich im Folgenden

x ⊥ y

verwenden, da ich glaube so etwas ähnliches schon ein mal gesehen zu haben)

ich soll den Grenzwert der Folge

(a_{n}) = \frac{n^{3}}{n ⊥ 3}

bestimmen.

Beh.:

lim_{n \to \infty} \frac{n^{3}}{n ⊥ 3} = 6

Bew.: Sei

ε > 0

beliebig.
Dann existiert ein

n_{0} \in ℕ,

so dass für alle

n \geq n_{0}

gilt:

| a_{n} - 6 | = | \frac{n^{3}}{n ⊥ 3} - 6 | = | \frac{n^{3}}{\frac{n!}{6 (n - 3)!}} - 6 | = | \frac{6 n^{3} (n - 3!)}{n!} - 6 | = | \frac{6 n^{3}}{n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2)} - 6 |

= | \frac{6 n^{2}}{(n - 1) (n - 2)} - 6 | = | \frac{6 n^{2} - 6 (n - 1) (n - 2)}{(n - 1) (n - 2)} | = | 6 \frac{n^{2} - (n - 1) (n - 2)}{(n - 1) (n - 2)} |

= | 6 (\frac{n^{2}}{(n - 1) (n - 2)} - 1) | . .

\leq 6 + ε

Wie komme ich hier weiter? Stehe momentan auf dem Schlauch.

Liebe Grüße, Jonathan

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
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Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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DrBoogie aktiv_icon

21:32 Uhr, 01.12.2015

Zum Teil machst Du überflüssige Umformungen.

\frac{6 n^{2}}{(n - 1) (n - 2)} - 6 = \frac{6 n^{2} - 6 (n - 1) (n - 2)}{(n - 1) (n - 2)} = \frac{18 n - 12}{(n - 1) (n - 2)}

und das kann man betragsmäßig z.B. durch

\frac{72 n}{n^{2}} = \frac{72}{n}

abschätzen.

rundblick aktiv_icon

21:32 Uhr, 01.12.2015

.
na ja

\to

warum formst du den Term nicht zuerst um

\frac{n^{3}}{(\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix})} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot n^{3}}{n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2)} = \frac{6}{1 \cdot (1 - \frac{1}{n}) \cdot (1 - \frac{2}{n})}

und um nun zu sehen, was passiert wenn

n \to \infty

brauchst du keinen Wald abholzen.
oder auf gar sinnlos auf Schläuchen herumstehen

ok?

Jonathan29 aktiv_icon

21:38 Uhr, 01.12.2015

Hallo DrBoogie und rundblick,

die vielen Umformungen hab ich nur gemacht, um zu sehen ob ich vielleicht etwas Sinnvolles erkennen kann. Wie geht man mit dieser Abschätzung weiterhin vor?

Du hast Recht, rundblick das sieht man natürlich auf den ersten Blick, allerdings versuchte ich den Beweis auf diese Methode zu lösen.

Liebe Grüße, Jonathan

DrBoogie aktiv_icon

08:38 Uhr, 02.12.2015

Wenn Du schon

∣ a_{n} - 6 ∣ \leq \frac{72}{n}

hast, ist der Rest einfach.
Du brauchst Dann

\frac{72}{n} < ε

, dafür muss

n > \frac{72}{ε}

sein.
Also nimmst Du für ein gegebenes

ε

das kleinste

n_{0}

, so dass

n_{0} > \frac{72}{ε}

und hast

∣ a_{n} - 6 ∣ \leq \frac{72}{n} \leq \frac{72}{n_{0}} < \frac{72}{\frac{72}{ε}} = ε

für alle

n \geq n_{0}

Jonathan29 aktiv_icon

11:02 Uhr, 02.12.2015

Hallo DrBoogie,

vielen Dank für die Antwort.

Habe das Konzept dieser Beweismethode noch nicht so richtig verinnerlicht ;-).

Liebe Grüße, Jonathan

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