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Grenzwertberechnung mit der h-Methode

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert, h-methode, lim, x->x0

Pimpanella aktiv_icon

21:38 Uhr, 05.02.2011

Hallo zusammen!

Bei der Vorbereitung auf meine Mathe-Prüfung komme ich bei der Grenzwertberechnung mittels h-Methode nicht weiter.

Wir haben gelernt, die h-Methode anzuwenden, wenn

x

gegen eine Zahl

x_{0}

verläuft.
Kann mir jemand erklären, was die h-Methode grundsätzlich bedeutet?

z . B

.
Was ist eigentlich dieses

h

und woher kommt es?
Wieso linksseitiger und rechtsseitiger Limes?
Was bedeutet das Ergebnis der Rechnung?

Ich habe das Gefühl, mir fehlt noch das grundlegendes Verständnis zu Grenzwerten...
Danke an alle Bemühten im Vorraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ableitung an einer Stelle

Wie bestimmt man die Ableitung

f' (x)

einer Funktion

f (x)

an der Stelle

x_{0}

Grenzwert einer Funktion

Wie bestimmt man den Grenzwert einer Funktion?

Grenzwert mit l'Hospital bestimmen

Wie bestimmt man einen Grenzwert mit der Regel von l'Hospital?

Wie bestimmt man einen Grenzwert, bei dem

\frac{0}{0}

oder

\frac{\infty}{\infty}

herauskommt?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades durch?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades durch?

smoka

13:14 Uhr, 06.02.2011

Hallo,

"Bei der Vorbereitung auf meine Mathe-Prüfung komme ich bei der Grenzwertberechnung mittels h-Methode nicht weiter. "
Das ist schade, aber Du musst uns schon genauer sagen, wo das Problem ist.

"Kann mir jemand erklären, was die h-Methode grundsätzlich bedeutet?"
Wie meinst Du das? Was soll die Methode bedeuten?
Du sprichst vermutlich vom Differntialquotient, aus diesem geht die h-Methode durch die Substitution

h := x - x_{0}

hervor

"Was ist eigentlich dieses h und woher kommt es?"
h ist eine Variable und sie ist vermutlich einmal dem Hirn eines Mathematikers entsprungen.

"Wieso linksseitiger und rechtsseitiger Limes?"
Das ist ne gute Frage, wie kommst Du darauf?

"Was bedeutet das Ergebnis der Rechnung?"
Welcher Rechnung?

Gruß,

smoka

Pimpanella aktiv_icon

14:49 Uhr, 06.02.2011

Hallo Smoka, vielen Dank für deine Antwort. Ich habe mich anscheinend etwas schlecht ausgedrückt.

Vielleicht fange ich mal anders herum an. Wenn folgende Aufgabe gegeben ist, wie würdest du vorgehen?

"Berechnen Sie folgenden Grenzwert! Geben Sie an, welche Methode Sie benutzen werden!"

lim_{x \to 0,5} \frac{4 x^{2} - 2 x}{2 x - 1}

Nach meinem Wissen (was ja zu diesem Thema etwas begrenzt ist^^), müsste ich die h-Methode anwenden, weil

x

gegen einen bestimmten Punkt

(x_{0} = 0,5)

verläuft. Aber wie man dann vorgeht weiß ich nicht so recht.

smoka

14:58 Uhr, 06.02.2011

Ich würde im Zähler

2 x

ausklammern:

lim_{x \to 0, 5} \frac{4 x^{2} - 2 x}{2 x - 1} = lim_{x \to 0, 5} \frac{2 x (2 x - 1)}{2 x - 1} = lim_{x \to 0, 5} 2 x = 1

Pimpanella aktiv_icon

19:38 Uhr, 07.02.2011

Danke für deine Lösung.
Ist es aber in der Mathematik nicht so, dass man nicht durch Null teilen darf? Denn der Nenner ergibt ja in deiner Rechnung Null.

Ein Freund hat versucht, diese Gleichung mit der "h-Methode" zu lösen, ist sich aber mit dem Ergebnis nicht sicher:

lim_{x \to 0,5} \frac{4 x^{2} - 2 x}{2 x - 1}

x_{0} = 0,5

x = x_{0} + h = 0,5 + h

einsetzen von

x_{0}

in die Gleichung (rechtseitiger Grenzwert)

lim_{x \to 0,5} \frac{4 \cdot {(0,5 + h)}^{2} - 2 \cdot (0,5 + h)}{2 \cdot (0,5 + h) - 1} = lim_{x \to 0,5} \frac{4 h^{2} + 2}{2 h} = lim_{x \to 0,5} \frac{h \cdot (4 h + 2)}{h \cdot 2} = lim_{x \to 0,5} \frac{4 h + 2}{2}

jetzt lässt man

h \to 0

laufen:

lim_{h \to 0} \frac{4 \cdot 0 + 2}{2} = \frac{2}{2} = 1

Das Gleiche hat er dann noch mit

x_{0} - h

gerechnet, wobei ebenfalls 1 herauskam.

Was sagst du dazu, könnte das stimmen? :-)

smoka

20:21 Uhr, 07.02.2011

"Ist es aber in der Mathematik nicht so, dass man nicht durch Null teilen darf? Denn der Nenner ergibt ja in deiner Rechnung Null."
Richtig, man darf nicht durch 0 teilen, tue ich auch nicht, denn bei

lim_{x \to 0, 5}

gilt stets

x \neq 0, 5

Für

x = 0, 5

ist diese Division nicht erlaubt, deshalb bildet man ja den Grenzwert. Man geht beliebig nahe an 0,5 ran, erreicht es aber nie.

"Ein Freund hat versucht, diese Gleichung mit der "h-Methode" zu lösen, ist sich aber mit dem Ergebnis nicht sicher:"
Sein Ergebnis stimmt, aber die Rechnung ist falsch.
Dass das Ergebnis bei beiden Methoden gleich ist, sollte eigentlich nicht verwunderlich sein, denn es wird ja kein anderer Grenzwert berechnet, sondern nur die Methode geändert. Man substituiert

x := x_{0} + h

und berechnet den Grenzwert

lim_{h \to 0}

nicht wie Dein Freund weiterhin

lim_{x \to 0, 5}

. Denn in dem Term ist gar kein x mehr drin, also kann es auch nicht gegen 0 streben.
Falsch zusammengerechnet und ausgeklammert hat er auch noch. So wäre es richtig:

lim_{h \to 0} \frac{4 (0, 5 + h)^{2} - 2 (0, 5 + h)}{2 (0, 5 + h) - 1} = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{2} + 2 h}{2 h} = lim_{h \to 0} \frac{4 h + 2}{2} = 1

"Was sagst du dazu, könnte das stimmen? :-)"
Wie gesagt, Ergebnis stimmt, Rechnung nicht.

Pimpanella aktiv_icon

20:33 Uhr, 07.02.2011

ok, ich denke jetzt weiß ich ungefähr, wie man mit der h-Mehtode rechnet.
Vielen Dank!

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