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Grenzwerte, Bernoullische Ungleichung

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Bernoulli Ungleichung, Grenzwert, Ungleichung

anonymous

21:14 Uhr, 30.11.2020

Guten Abend!

Ich sitze gerade in Mathe an den letzten Übungsaufgaben. Wir müssen das bald abgeben und ich grübel da seit Stunden drüber..

Es wäre sehr nett, wenn ich Hilfe bekommen würde :-)

Aufgaben sind auf dem Bild.

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

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Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades durch?

HAL9000

21:34 Uhr, 30.11.2020

Zu (b) Schätze den Kehrwert des Terms, von dem du den Limes bilden sollst, mit der Bernoulli-Ungleichung ab.

Zu (c) Schreibe den Zähler des Binomialkoeffizienten als Produkt und ziehe dort aus jedem Faktor

n

heraus:

(\begin{array}{c} n \\ k \end{array}) = \frac{1}{k!} \cdot \prod_{j = 0}^{k - 1} (n - j) = \frac{n^{k}}{k!} \cdot \prod_{j = 0}^{k - 1} (1 - \frac{j}{n})

anonymous

21:40 Uhr, 30.11.2020

Hmm.. können Sie etwas mehr Ausführen? Ich glaube, ich stehe auf de Schlauch..

HAL9000

07:26 Uhr, 01.12.2020

Zu b) Wie ich sagte, betrachte den Kehrwert

{(\frac{n + 1}{n})}^{n^{2} + 1} = {(1 + \frac{1}{n})}^{n^{2} + 1} \geq 1 + (n^{2} + 1) \cdot \frac{1}{n} = 1 + n + \frac{1}{n}

,

wobei das

\geq

auf der Bernoullischen Ungleichung

{(1 + t)}^{m} \geq 1 + m t

mit

t = \frac{1}{n}

sowie

m = n^{2} + 1

beruht.

(c) ist an sich durch, wenn du anschließend berücksichtigst

\prod_{j = 0}^{k - 1} (1 - \frac{j}{n}) \leq \prod_{j = 0}^{k - 1} 1 = 1

sowie auch

lim_{n \to \infty} \prod_{j = 0}^{k - 1} (1 - \frac{j}{n}) = \prod_{j = 0}^{k - 1} lim_{n \to \infty} (1 - \frac{j}{n}) = \prod_{j = 0}^{k - 1} 1 = 1

anonymous

16:47 Uhr, 01.12.2020

Okay, das bedeutet ich schreibe;

{(1 + \frac{1}{n})}^{n^{2} + 1}

≥

1 + n + \frac{1}{n}

Dann lasse ich beide gegen unendlich laufen.
Aber dann ergibt der Term

1 + n + \frac{1}{n}

ja +∞, oder?

Inwiefern beweist das die Formel?
Ich stehe immer noch auf dem Schlauch..

anonymous

17:30 Uhr, 01.12.2020

Also, tut mir leid, wenn ich so blöd frage. Vielleicht übersehe ich auch gerade was Offensichtliches. :-)

HAL9000

18:17 Uhr, 01.12.2020

Du hast mitgekriegt, dass es um den KEHRWERT geht? Jetzt denk nochmal nach.

anonymous

18:30 Uhr, 01.12.2020

Ja, ist mir auch gerade aufgefallen, das war ziemlich blind von mir.

Also wenn ich den Kehrwert bilde, dann steht dort ja

{(\frac{n}{n + 1})}^{n^{2} + 1}

≤

\frac{1}{n}

HAL9000

18:35 Uhr, 01.12.2020

Na ja doch. Und andererseits ist der Term links aber auch

> 0

, so dass das Sandwich komplett ist.

anonymous

18:51 Uhr, 01.12.2020

Ok,

b

habe ich jetzt notiert.
Was

(c)

angeht... wie notiere ich das am besten verständlich?

"(c) ist an sich durch, wenn du anschließend berücksichtigst"

(...)

Ich glaube der Term danach ist mir etwas unklar.
Woher stammt dieser Zusammenhang?

HAL9000

19:00 Uhr, 01.12.2020

Bitte konkreter als "der Term danach". Wie gesagt, nach meinem Dafürhalten steht eine ausführliche Komplettlösung oben, so dass du schon den oder die einzelnen Schritte nennen solltest, die noch einer Erläuterung bedürfen.

anonymous

19:23 Uhr, 01.12.2020

Es geht generell um die Zusammenhänge aus der zweiten Antwort. :-)

HAL9000

19:36 Uhr, 01.12.2020

Wenn du nach der Vorarbeit oben meinst, ALLES nochmal erklärt haben zu wollen, dann lassen wir es besser ganz bleiben.

anonymous

20:18 Uhr, 01.12.2020

Alles gut, ich hatte ein Brett vor dem Kopf, habs verstanden, dankeschön! :-)

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