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Grenzwerte komplexer Folgen berechnen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Grenzwerte

Komplexe Analysis

Tags: Folgen, Grenzwert, Komplexe Analysis, Reihen

ele123

14:38 Uhr, 02.05.2009

Hallo,

ich soll die Grenzwerte von drei komplexen Folgen mit Hilfe der Definition von Konvergenz und der Produktrechenregel und der Quotientenrechenregel berechnen.

Bei den zwei ersten habe ich ein Ergebnis, weiß aber nicht ob es stimmt.

\frac{3 n + 4 n^{2} i}{8 n^{2}} = \frac{n^{2} (\frac{3}{n} + 4 i)}{n^{2} \cdot 8} = \frac{\frac{3}{n} + 4 i}{8}

Zähler strebt gegen

4 i (

für

n

gegen Unendlich) und Nenner gegen 8
also

lim = \frac{1}{2} i

und

(-i/n^3)(i)(3+6ni) = (-i^2/n^3)(3+6ni)

= \frac{1}{n^{3}}

(3+6ni)

= \frac{3}{n^{3}} + 6 \frac{i}{n^{3}}

Der erste Summand strebt gegen 0 und der zweite auch
also

lim = 0

und bei der dritten Aufgabe finde ich einfach keinen Anfang.
Vielleicht kann mir jemand einen kleinen Hinweis geben, so dass ich dann selbst weiterrechnen kann?!

(10n+3(n^3)i-4n^5)/(2n^3-(3/2ni)) =

Vielen Dank schonmal!
LG

EDIT: Kann mir wirklich niemand helfen? Wär echt wichtig! Geht eigentlich genau wie bei reellen Folgen. Aber ich bekomms trotzdem nicht hin.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
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pepe1 aktiv_icon

18:36 Uhr, 02.05.2009

Angabe der Aufgabe so richtig?( schlechte Lesbarkeit )
Dann gilt:

\frac{10 \cdot n + 3 \cdot n^{3} \cdot i - 4 \cdot n^{5}}{2 \cdot n^{3} - \frac{3}{2 \cdot n \cdot i}} = \frac{\frac{10}{n^{2}} + 3 \cdot i - 4 \cdot n^{2}}{2 + \frac{1}{n^{4}} \cdot \frac{3}{2} \cdot i} \to - \infty

für

n \to \infty

MfG

ele123

18:46 Uhr, 02.05.2009

Hey....erstmal vielen Dank für die Antwort!
Habe aber noch zwei Fragen:

1. Wo kommt denn im Nenner plötzlich das

+

her? Da war doch ein -
2. Warum strebt das Ganze denn dann gegen Unendlich? Seh das bei dem Term noch nicht so wirklich! Vielleicht hast du noch ein, zwei Bemerkungen dazu...! Wär super!

Danke!
LG

pepe1 aktiv_icon

21:13 Uhr, 02.05.2009

Zu:1 Wo kommt denn im Nenner plötzlich das

+

her? Da war doch ein -

- \frac{1}{i} = - \frac{i}{i^{2}} = i,

i^{2} = - 1

Zu 2 Warum strebt das Ganze denn dann gegen Unendlich?
Allgemein:
Zählergrad

>

Nennergrad:

\to + (-) \infty

Zählergrad

<

Nennergrad:

\to 0

Zählergrad = Nennergrad:

\to

reelle ( bzw.komplexe) Zahl

\neq 0

\frac{\frac{10}{n^{2}} + 3 \cdot i - 4 \cdot n^{2}}{2 + \frac{1}{n^{4}} \cdot \frac{3}{2} \cdot i} \to - \infty

für

n \to \infty

Zähler:

\frac{10}{n^{2}} \to 0; 3 \cdot i \to 3 \cdot i; - 4 \cdot n^{2} \to - o o,

für

n \to \infty

Nenner:

2 \to 2; \frac{1}{n^{4}} \cdot \frac{3}{2} \cdot i \to 0

für

n \to \infty

Also Zähler->

- \infty

Nenner

\to 2 \neq 0

\to

Bruch

\to - \infty

MfG

ele123

11:19 Uhr, 03.05.2009

Super! Vielen Dank für die ausführliche Antwort! Das hätte ich allein niemals gesehen.

Wenn Du mir jetzt noch sagen kannst, ob ich bei den ersten beiden Aufgaben richtig liege, dann bin ich wunschlos glücklich :-)

Und entschuldige die Schreibweise. Weiß auch nicht warum das mit den Formeln auf einmal nicht mehr geklappt hat. Ich versuche meine Lösungen nochmal als Bilder hochzuladen. Falls das nicht klappt stehen sie ja oben im ersten Beitrag.

LG

pepe1 aktiv_icon

23:44 Uhr, 03.05.2009

Die beiden Aufgaben sind richtig.
Falls Fragen, bitte stellen.

Alles Gute.
MfG

605819

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