Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Grenzwerte mit der Landau Notation berechnen

Grenzwerte mit der Landau Notation berechnen

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert, Landau Notation, Potenzreihe

ElRon91 aktiv_icon

13:57 Uhr, 11.02.2011

Hallo,

ich habe eine Frage zu der Landau Notation und der Potenzreihenentwicklung.

Man kann ja Grenzwerte von Elementarfunktionen mit den entsprechenden Potenreihenentwichlungen und der Landau Notation in den meisten Fällen berechnen. Ich habe aber versucht folgende Aufgabe ensprechend zu lösen:

$\lim_{x \to - \infty} \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}$

Es ist mir durchaus bewusst das es eine deutlich einfachere Methode gibt diesen Grenzwert zu bestimmen, aber es geht mir hier um diese Potenzreihen Methode.

Ich wäre sehr dankbar wenn mir jemand diese Aufgabe mit der entsprechenden Methode vorrechnen könnte.

Das Hauptproblem, dass ich nicht verstehe ist wieso die folgende Gleichung nicht funktioniert.

$\lim_{x \to - \infty} e^{x} = \lim_{x \to - \infty} (1 + x + O (x^{2}))$

es ist ziemlich eindeutig das die linke Seite gegen negative unendlich strebt wohingegen die linke seite gegen 0 geht. Wieso kann man für x gegen negativ unendlich nicht die entsprechende Potenzreihe verwenden?

Würde mich freuen wenn mir jemand ein bisschen Klarheit verschaffen könnt :)

Liebe Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ableitung an einer Stelle

Wie bestimmt man die Ableitung

f' (x)

einer Funktion

f (x)

an der Stelle

x_{0}

Grenzwert einer Funktion

Wie bestimmt man den Grenzwert einer Funktion?

Grenzwert mit l'Hospital bestimmen

Wie bestimmt man einen Grenzwert mit der Regel von l'Hospital?

Wie bestimmt man einen Grenzwert, bei dem

\frac{0}{0}

oder

\frac{\infty}{\infty}

herauskommt?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades durch?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades durch?

pwmeyer aktiv_icon

12:00 Uhr, 12.02.2011

Hallo,

die Landau-Notation bezieht sich nur auf Grenzwerte

x \to 0

. Also

z . B

e x p (x) = 1 + x + O (x^{2}) \approx 1 + x

für "kleine"

| x |

Gruß pwm

ElRon91 aktiv_icon

14:10 Uhr, 12.02.2011

Hallo,

danke für deine Antwort. Es ist jedoch so, dass sich die Landau Notation auch auf andere Basen bezogen werden kann (siehe z.B. Wikipedia Landau-Symbole).

Um meine Frage jetzt noch einmal etwas deutlicher zu machen ein Beispiel aus Analysis 1 von Vladimir A. Zorich zu der Methode Grenzwerte mit der Landau-Notation zu berechnen:

$\lim_{x \to + \infty} \sqrt{x^{2} + x} - x = \lim_{x \to + \infty} x (\sqrt{1 + \frac{1}{x}} - 1) = \lim_{x \to + \infty} x (1 + \frac{1}{2} * \frac{1}{x} + o (\frac{1}{x}) - 1) = \lim_{x \to + \infty} (\frac{1}{2} + x * o (\frac{1}{x})) = \lim_{x \to + \infty} (\frac{1}{2} + o (1)) = \frac{1}{2}$

(hier wurde benutzt, dass ${(1 + x)}^{a} = 1 + a x + o (x)$ )

Ich tappe hier einfach nur im Dunkeln, da ich die Methode zwar glaube zu verstehe sie aber nicht mit der obigen Frage vereinigen kann. Hoffentlich kann mir jemand helfen.

Grüße

hagman aktiv_icon

18:57 Uhr, 12.02.2011

Es gilt

{(1 + x)}^{a} = 1 + a x + o (x)

für

x \to 0

.
Durch die Umformung taucht

\frac{1}{x}

statt

x

auf, so dass die Abschätzung für grosse

| x |

(und daher kleine

| \frac{1}{x} |)

gilt.

Dein Beispiel kannst du schlecht so umformen, dass der Exponent de e-Funktion durchweg

\to 0

geht, wenn

x \to - \infty

.

Du hast zwar recht, dass die Landau-Notation nicht grundsätzlich auf

x \to 0

bezogen wird.
Tatsächlich gehört eigentlich die Angabe des Bezuges dazu, sprich: So wie die Landau-Schreibweise

f (x) = O (g (x))

bereits nicht ganz koscher ist und lieber

f \in O (g)

lauten sollte, so ist auch das Weglassen der "Basis" eigentlich schludrig. Üblicherweise ist zwar aus dem Zusammenhang klar, ob

z . B

. das

O

für den Grenzübergang

x \to 0

gilt

(z . B

. bei Taylorreihen) oder für den Grenzübergang

x \to + \infty

(wie

z . B

. in der Komplexitätstheorie), aber streng genommen ist die Angabe jedes Mal erforderlich.
So gilt

x \in O (x^{2})

für

x \to + \infty

aber

x \notin O (x^{2})

für

x \to 0

ElRon91 aktiv_icon

20:32 Uhr, 12.02.2011

Danke für die Antwort :) ich habe mir auch nochmal in der Zwischenzeit gedanken gemacht und was ich die ganze Zeit nicht realisiert habe ist, dass die Reihe $e^{- x} = 1 - x + \frac{x^{2}}{2!} - \frac{x^{3}}{3!} + ....$ gerade wegen ihrer alternierenden Eigenschaft nicht durch einen Term O(g(x)) abgeschätzt werden kann. Was dann auch dazu führt, dass die Aufgabe die ich zu Beginn gestellt habe nicht mit dieser Methode lösbar ist. Ist zwar schade aber so ist das eben...

Danke nochmals für die Hilfe und liebe Grüße.

855068

854749

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?