Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Grenzwerte und Riemannsummen

Grenzwerte und Riemannsummen

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Integration

Tags: Grenzwert, Integration, Riemann-Integral, Riemannsche Summen, Zwischensumme

HappyHyppo aktiv_icon

11:19 Uhr, 04.07.2017

Guten Tag,

Habe hier 2 Aufgaben, bei denen mir nach einiger Überlung einfach jedweder Ansatz fehlt. Die Definition der Riemann-Integrierbarkeit ist mir bekannt, aber verinnerlicht ist sie vielleicht doch nicht ausreichend ;-) Wie immer würde ich mich sehr über Hilfe freuen :-)
Nagut:

Ich soll erstens folgende Grenzwertaussagen mit der Riemannschen Summendefinition beweisen.

\frac{1}{n^{p + 1}} \cdot \sum_{k = 1}^{n} k^{p} \to \frac{1}{p + 1} \forall p \in ℕ

\frac{1}{n} \sum_{i = k}^{n} \frac{sin (k \cdot π)}{n} \to \frac{2}{π}

Dann soll ich die Grenzwerte mittels geeigneter Zwischensummen zu geeigneten Integralen berechnen.

lim_{n \to \infty} (\frac{1}{n^{2}} + \frac{2}{n^{2}} + ... + \frac{2 n - 1}{n^{2}})

und

lim_{n \to \infty} \sum_{k = n \cdot q}^{n \cdot p - 1} \frac{1}{k}, p > q, p, q \in ℕ

Mein kläglicher Ansatz bestand nur darin, zu den Summen der Form

\sum_{k = 1}^{n} f (ξ_{k}) (x_{k} - x_{k - 1})

das Integral des Grenzüberganges zu bestimmen I

(f) = \int_{a}^{b} f (x) d x

. Offensichtlich nicht sehr erfolgreich :-)
Liebe Grüße HappyH.

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ableitung an einer Stelle

Wie bestimmt man die Ableitung

f' (x)

einer Funktion

f (x)

an der Stelle

x_{0}

Grenzwert einer Funktion

Wie bestimmt man den Grenzwert einer Funktion?

Grenzwert mit l'Hospital bestimmen

Wie bestimmt man einen Grenzwert mit der Regel von l'Hospital?

Wie bestimmt man einen Grenzwert, bei dem

\frac{0}{0}

oder

\frac{\infty}{\infty}

herauskommt?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades durch?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades durch?

DrBoogie aktiv_icon

11:34 Uhr, 04.07.2017

"Mein kläglicher Ansatz"

Der Ansatz ist doch richtig.

Z.B. für die Funktion

f (x) = x^{p}

auf

[0, 1]

sehen die Riemann-Summen für die Intervallteilung

x_{0} = 0, x_{1} = 1 / n, x_{2} = 2 / n, . . ., x_{n} = 1

so aus:

\sum_{k = 0}^{n} f (ξ_{k}) \frac{1}{n} = \frac{1}{n} \sum_{k = 0}^{n} ξ_{k}^{p}

, wobei

ξ_{k}

[\frac{k}{n}, \frac{k + 1}{n}]

liegen. Diese Summen konvergieren gegen

\int_{0}^{1} x^{p} d x

, unabhängig von der Wahl von

ξ_{k}

. Also auch für

ξ_{k} = \frac{k}{n}

.Damit konvergiert

\frac{1}{n} \sum_{k = 0}^{n} (\frac{k}{n})^{p}

gegen

\int_{0}^{1} x^{p} d x

und dieses Integral ist ja

\frac{1}{p + 1}

.

Genauso geht es auch in anderen Fällen.

HappyHyppo aktiv_icon

18:59 Uhr, 04.07.2017

Hallo DrBoogie,

vielen Dank.

Nur damit kein Irrtum meinerseits vorliegt:
Bei der Riemannschen Summe betrachte ich eine Summe der Form

\sum_{k = 1}^{n} f (ξ_{k}) (x_{k} - x_{k - 1})

und

ξ_{k}

liegt im k-ten Teilintervall meiner Zerlegung. Jetzt wird der Grenzwert für

n

berechnet:

\sum_{k = 1}^{\infty} f (ξ_{k}) (x_{k} - x_{k - 1})

und dabei wird die Summe zum Integral

\int_{a}^{b} f (x) d x

ist das richtig?
Tut mir Leid fürs Nachhaken aber woher weißt du, dass die Riemannsumme in deiner Erklärung gegen

\int_{0}^{1} x^{p} d x

konvergiert und zwar unabhängig von

ξ_{k}

?

Grüße HH

DrBoogie aktiv_icon

21:39 Uhr, 04.07.2017

"Tut mir Leid fürs Nachhaken aber woher weißt du, dass die Riemannsumme in deiner Erklärung gegen ∫10xpdx konvergiert und zwar unabhängig von ξk?"

Weil ich weiß, dass

x^{p}

integrierbar ist (z.B. weil sie stetig ist).
Und für eine integrierbare Funktion konvergieren Riemannsummen gegen das Integral, unabhängig von

ξ_{k}

, und zwar PER DEFINITION.
Wir nutzen hier halt die schwere Maschinerie der Integrationstheorie. Es ist z.B. gar nicht so trivial zu zeigen, dass stetige Funktionen wirklich integrierbar sind, denn da muss man dieses "unabhängig von

ξ_{k}

" berücksichtigen usw. Aber für uns ist das alles gar kein Problem in dieser Aufgabe, denn wir können die Integrationstheorie als bekannt voraussetzen.

HappyHyppo aktiv_icon

14:19 Uhr, 05.07.2017

Mhm ja das stimmt wohl.

Also für

\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{n} sin (π \cdot \frac{k}{n})

sähe das bei mir wie folgt aus:

\sum_{k = 1}^{n} sin (ξ_{k} \cdot π) \cdot \frac{1}{n} \to \int_{0}^{1} sin (π \cdot x) d x

= \frac{- cos (π) + cos (0)}{π} = \frac{2}{π}

und für

b)

\frac{1}{n^{2}} + \frac{2}{n^{2}} + ... + \frac{2 n - 1}{n^{2}} = \sum_{k = 1}^{2 n - 1} \frac{k}{n^{2}} = [\sum_{k = 1}^{2 n} \frac{k}{n^{2}}] - \frac{2}{n}

sodass

lim_{n \to \infty} [\sum_{k = 1}^{2 n} \frac{k}{n^{2}}] - \frac{2}{n} = lim_{n \to \infty} [\sum_{k = 1}^{n} \frac{k}{n^{2}} + \sum_{k = n + 1}^{2 n} \frac{k}{n^{2}}] - \frac{2}{n} = 2 \cdot \int_{0}^{1} x d x = 1

und

lim_{n \to \infty} \sum_{k = n \cdot q}^{n \cdot p - 1} \frac{1}{k}

wobei

\sum_{k = n \cdot q}^{n \cdot p - 1} \frac{1}{k} = {(\frac{1}{n}) \sum_{k = n \cdot q}^{n \cdot p} \frac{n}{k}} - \frac{1}{n \cdot p}

= [{(\frac{1}{n}) \sum_{k = n \cdot q}^{n} \frac{n}{k}} + {(\frac{1}{n}) \sum_{k = n + 1}^{2 n} \frac{n}{k}} + ... + {(\frac{1}{n}) \sum_{k = (p - 1) \cdot n + 1}^{n \cdot p} \frac{n}{k}}] - \frac{1}{n \cdot p}

Jeder Teilsumme wird das Integral

\int_{0}^{1} x d x

zugeordnet sodass letzendlich

lim_{n \to \infty} \sum_{k = n \cdot q}^{n \cdot p - 1} \frac{1}{k} = p \cdot \int_{0}^{1} x d x = \frac{p}{2}

Ist der Gedanke richtig oder geht er in die völlig falsche Richtung? Gruß HH

DrBoogie aktiv_icon

14:49 Uhr, 05.07.2017

Mit dem Sinus ist OK.

Bei b) stimmt die Richtung, die Einzelheiten nicht.

Z.B.

\sum_{k = 1}^{n} \frac{k}{n^{2}}

konvergiert zu

\int_{0}^{1} x d x

, das wissen wir aus a). Aber

\sum_{k = n + 1}^{2 n} \frac{k}{n^{2}}

ist schon was Anderes, sie konvergiert zu

\int_{1}^{2} x d x

.

Damit hast Du nicht

2 \int_{0}^{1} x d x

, sondern

\int_{0}^{1} x d x + \int_{1}^{2} x d x = \int_{0}^{2} x d x = 2

DrBoogie aktiv_icon

15:17 Uhr, 05.07.2017

\sum_{k = n q}^{n p - 1} \frac{1}{k}

geht einfacher.

\sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{p - q}{n q + k (p - q)} = \sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{n}{n q + k (p - q)} \frac{p - q}{n}

ist eine Riemannsumme für

f (x) = \frac{1}{x}

auf dem Intervall

[q, p]

mir der Aufteilung

x_{0} = \frac{n q}{n}, x_{1} = \frac{n q + (p - q)}{n}, x_{2} = \frac{n q + 2 (p - q)}{n}, x_{3} = \frac{n q + 3 (p - q)}{n}, . . ., x_{n} = \frac{n p}{n}

.

Also

\sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{p - q}{n q + k (p - q)} \to \int_{q}^{p} \frac{d x}{x} = \ln (p / q)

.

Aber

\sum_{k = n q}^{n p - 1} \frac{1}{k} =

{Substitution

l := \frac{k - n q}{p - q}

}

= \sum_{l = 0}^{n - 1 / (p - 1)} \frac{1}{n q + l (p - q)}

, was im wesentlichen

\sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{p - q}{n q + k (p - q)}

ist.

Also hast im Grenzwert

\ln (p / q)

HappyHyppo aktiv_icon

11:17 Uhr, 06.07.2017

Ok vielen Dank wie immer, du hast mir sehr geholfen.
Bei den ersten paar Summen kam das Integral der Form

\int_{a}^{b} x d x

also zustande weil

k

in der Summe im Zähler steht und

\int_{a}^{b} \frac{1}{x} d x

weil hier

k

im Nenner steht. Hab ich übersehen^^

Liebe Grüße HH

1379250

1378956

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?