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Infimum und Supremum bestimmen

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Beschränktheit, Grenzwert, Infimum, Supremum, Supremum Infimum

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WildSeven

WildSeven aktiv_icon

10:42 Uhr, 14.11.2016

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Da das Forum mir letzte Woche sehr geholfen hat, möchte ich es gleich weiter versuchen.

Meine Aufgabe ist die Folgene Teilmenge

A \subset ℝ

auf Beschränktheit und ggf Infimum, Supremum, Minimum und Maximum zu untersuchen.

A := {2^{- m} + n^{- 1} | m, n \in ℕ}

Ich habe also erstmal nach der Beschränktheit geschaut. Als obere Schranke hab ich

\frac{3}{2}

da wenn ich für

n

und

m 1

einsetze, dann ist größer als

n = 1

und

m = 2

oder

n = 2

und

m = 1

oder

n = 2

und

m = 2

. Denn klar ist:

\frac{3}{2} < 1 < \frac{5}{4} < \frac{3}{2}

Als untere grenze hab ich

0,

da für größer werdene

n, m

werden die Werte zwar immer kleiner, aber da 2 und

n

positiv sind, können sie nicht unter 0 fallen.

Soweit schon richtig?

Meine zwei Probleme sind nun:

a)

Wie schreib ich den Beweis für die Beschränktheit? Oder reicht meine Ausführung oben (ich weiß, das sie nicht schön ist, aber ich hab noch immer Probleme, selber auf Beweisstrukturen zu kommen.

b)Wie beweise ich nun Infimum und Supremum (welche ja glaub ich auch bei 0 und

\frac{3}{2}

liegen müssten)(Minimum und Maximum sollten ja dann minA=infA und

max A = \supset A)

Nebenbei:
Ich weiß, dass das Infimum bzw. Supremum die kleinste bzw. größte untere bzw. oberste Schranke is. Mir ist aber eben nicht klar, wann ein Infimum bzw. Supremum nicht die Schranken sind, die man in dem Beweis für die Beschränktheit bestimmt.

Danke schon mal :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
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Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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Antwort

Edddi

Edddi aktiv_icon

11:03 Uhr, 14.11.2016

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Denn klar ist:

\frac{3}{2} < 1 < \frac{5}{4} < . .

. ????

Du kannst es doch so angehen:

Für

m, n \in N

gilt:

1 \leq m < \infty

2^{1} \leq 2^{m} < 2^{\infty}

\frac{1}{2^{1}} \geq \frac{1}{2^{m}} > \frac{1}{2^{\infty}}

\frac{1}{2} \geq \frac{1}{2^{m}} > 0

dito für

n

1 \leq n < \infty

\frac{1}{1} \geq \frac{1}{n} > \frac{1}{\infty}

1 \geq \frac{1}{n} > 0

Was gilt dann für

\frac{1}{2^{m}} + \frac{1}{n}

???

;-)

WildSeven

WildSeven aktiv_icon

11:53 Uhr, 14.11.2016

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Okay, mein unmathematisches Auge sieht da, dass folglich

\frac{1}{2^{1}} + \frac{1}{1} > \frac{1}{2^{m}} + \frac{1}{n} > 0

ist, stimmts? Wenn ja dann ist das ein netter Beweis, und ich hoffe ich komm mal selbst auf sowas.
(Danke)

Zum Verständnis:
Du hast

\frac{1}{2^{m}}

genommen, weil es das selbe wie

2^{- m}

ist, nicht wahr?

So dann wäre da noch aufgaben Teil

b

. Das Finden von Infimum und Supremum.
Also ich persönlich denke, da wenn ich für

n, m 1

einsetze, das Supremum schon mal

\frac{3}{2}

sein muss. Beim Infimum bin ich mir nicht sicher. Ich hätte es mit dem Limes versucht.
Denn

lim_{n \to \infty, m \to \infty} \frac{1}{2^{m}} + \frac{1}{n} = 0

Auch hier wäre ein Beweis hilfreich. :-P)

Minimum und Maximum ergeben sich ja dann aus

min A =

infA und

max A =

supreA.

(Hier am rande. Ich wollte "supA" schreiben aber das Forum hat daraus

\supset A

gemacht. Kann man das irgendwie an bestimmten stellen unterbinden?)

WildSeven

WildSeven aktiv_icon

20:40 Uhr, 14.11.2016

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Reicht es wenn ich sowas mache (so in etwa aus unserer Übung):

Supremum:
Für

ε > 0

existiert ein

n_{0} \in ℕ, m_{0} \in ℕ

so dass

\frac{1}{2^{m}} + \frac{1}{n} - 1 < ε \Leftrightarrow \frac{1}{2^{m}} + \frac{1}{n} > 1 - ε

Infermum:

Sei

ε > 0

. Da

\frac{1}{2^{m}} + \frac{1}{n} \to 0

existiert

n_{0} ε ℕ

so dass

ε > 1 + \frac{1}{2^{m}} + \frac{1}{n} > - ε \Leftrightarrow \frac{1}{2^{m}} + \frac{1}{n} < ε + 1

In meinem Kopf macht das irgendwie Sinn, ich kann mir aber leider auch gut vorstellen das sich so manch einer Denkt: Wat raucht der Junge?

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ledum

ledum aktiv_icon

22:56 Uhr, 15.11.2016

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Hallo
das

\supset

hast du doch schon

\frac{3}{2}

ist wie du gezeigt hast der größte Wert, denn die folge annehmen kann und den sie auch annimmt, also ist das super ich ein

max

. dass

\frac{1}{2^{m}}

und

\frac{1}{n}

Nullfolgen sind kann man wohl voraussetzen,

d . h

. es gibt keine größere untere Schranke als 0 da die Folge kleiner werden kann als jedes beliebige

ε

. also ist 0 das

\int

. kein Glied der Folge ist=0 also gibt es Ken

min

.
Gruß ledum

Frage beantwortet

WildSeven

WildSeven aktiv_icon

06:34 Uhr, 16.11.2016

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Okay, das erscheint mir logisch.
Ich danke euch. Ich denke ich bin wieder einen Schritt weiter als letzte Woche

; p

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