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Integral Gradient Verkettung Kurve und Funktion

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation, Gradient, Integral, Komposition, Kurve, Skalarprodukt

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13:34 Uhr, 11.04.2019

Hallo zusammen,

ich soll den Zusammenhang im Bild unten zeigen. Ich vermute, dass es eine ganz kurze Rechnung ist, aber ich komme nicht weiter. Ich habe versucht, die Komposition

f (y (t)

nach der Kettenregel abzuleiten (das ist ja der Gradient), aber das Df(y(t)) liegt bei mir wegen

f

in den reellen Zahlen. Die Ableitung von

y (t)

habe ich auch:

y' (t) = (y 1' (t), ...,

yn'(t)) , ist ja ein Vektor im

R^{n}

. Nun soll ich aber <grad(f(y(t)),

y' (t) >

bestimmen und dann integrieren. Ich bin mir nicht sicher, ob

<, >

das normale Skalarprodukt sein soll oder nicht... wie bildet man das Skalarprodukt von einer Zahl und einem Vektor...? Wenn das wirklich das Skalarprodukt ist, dann müsste ich ja zwei Vektoren haben,

i . e

. mein Gradient ist falsch... Wenn ich das ganze von der rechten Seite der Gleichung her angehe, dann weiß ich ja, dass die "Aufleitung" von <grad(f(y(t)),

y' (t) > f (y (t))

sein muss. Aber bei mir ist das ja schon die Aufleitung von grad(f(y(t))...

Würde mich freuen, wenn jemand bereit ist, mir zu erklären, wie ich

f (y (t))

richtig ableite... Vielen Dank schon mal!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

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15:32 Uhr, 11.04.2019

Ok... hab nochmal die Ableitung angeschaut. Jetzt komme ich auf einen Vektor im

R^{n}

. Und zwar Df(y(t))*Dy(t), wobei wegen der Multiplikation mit dem Dy(t) ein Vektor zustande kommt... Dann ist das Skalarprodukt Df(y(t))*Summe (Dyi(t)*Dyi(t)), wobei

i \in {1, ..., n}

die Koordinate von

y

angibt. Deshalb komme ich beim Integrieren nicht weiter. Die Substitution ist ja einfach eine umgedrehte Ableitung nach der Kettenregel. Aber ich finde nicht die Schritte dorthin...