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Integral über Dirac
Universität / Fachhochschule
Funktionen
Tags: delta, Dirac, Funktion, Integral
 
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Hallo zusammen, Ich versuche gerade eine Rechnung nachzuvollziehen, in der der folgende Rechenschritt gemacht wird: Dabei bezeichnet den Dirac Impuls. Ich war immer der Meinung, ein Integral über den Dirac gibt eine Heaviside Funktion. Also in diesem Fall Was habe ich hier übersehen? Vielen Dank im Voraus an alle Helfenden! Viele Grüße Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Funktion (Mathematischer Grundbegriff) Flächenberechnung durch Integrieren Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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"Ich war immer der Meinung, ein Integral über den Dirac gibt eine Heaviside Funktion." Dann hattest Du eine falsche Meinung. Eine Dirac-Funktion ist in Wirklichkeit gar keine richtige Funktion und man kann sie definitiv nicht "normal" integrieren. Sie ist eine "verallgemeinerte Funktion", auch Distribution genannt, konkret bedeutet das, dass sie ein linearer Funktional auf Funktionen ist. Und ist in Wirklichkeit nur die Definition von diesem Funktional und kein Integral von Riemann oder Lebesgue. Das ist die mathematische Sicht. Physiker mögen es anders sehen. Und wie immer, es gibt viel (und für Dich bestimmt ausreichend) darüber in Wikipedia: de.wikipedia.org/wiki/Delta-Distribution |
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Hallo und Danke für die schnelle Antwort! Ich habe mir das in Wikipedia zwar durchgelesen, allerdings ist mir unklar, wann ich das wie in dem obigen Beispiel verwende und somit , und wann ich das Integral als Heaviside interpretiere. Woher weiß ich das? Kannst du mir dabei helfen? Grüße |
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"wann ich das Integral als Heaviside interpretiere" Ich weiß nicht, wie Du das meinst. Ein Integral ist immer Null, wenn Du es als Riemann- oder Lebesgue-Integral interpretierst, denn ist nur in einem Punkt nicht . Daher hat es sehr wenig Sinn, dieses "Integral" wirklich als ein Integral zu interpretieren. |
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"Ein Integral ist immer Null, wenn Du es als Riemann- oder Lebesgue-Integral interpretierst." Ok. Das macht natürlich Sinn. Das was ich meine ist das hier: http//de.wikipedia.org/wiki/Heaviside-Funktion Ein Auszug daraus: "Dennoch kann man über die Theorie der Distributionen eine Ableitung definieren. Die Ableitung der Heaviside-Funktion in diesem Sinne ist die diracsche Delta-Distribution, die in der Physik zur Beschreibung von punktförmigen Quellen von Feldern Verwendung findet." Daher meine Unsicherheit, wann ich und wann verwenden muss. |
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"Dennoch kann man über die Theorie der Distributionen eine Ableitung definieren." Das ist schön und richtig, nur dass eine "Ableitung im Distributionssinne" etwas ganz Anderes als eine normale Ableitung ist. "Daher meine Unsicherheit, wann ich und wann verwenden muss." Streng genommen kannst Du beides nicht verwenden, denn beides stimmt nicht. Das Einzige, was wirklich sauber ist, ist die Formel . Man kann zwar sagen: "OK, dann nehme ich - Konstante Funktion und habe ", aber das geht nur, wenn im Raum liegt, auf welchem das Funktional wirkt, und normalerweise wird ein Raum genommen, in welchem eben nicht liegt (weil man sonst keine Stetigkeit des Funktionals bekommt). Aber leider wird oft benutzt (auch in Deiner Aufgabe wird das erwartet). Die Formel stimmt unter keinen Umständen. |
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Ok. Ich glaube langsam wird das schon klarer. Jetzt kann ich mir das schon eher vorstellen und versuchen die Angabe korrekt zu interpretieren. Danke für deine super Hilfe und die guten Erklärungen! |
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