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Integralrechnung, Obersumme / Untersumme

Schüler Berufliches Gymnasium,

Tags: Flächeninhalt, Integral, kurven, Obersumme, Untersumme

kristy1993 aktiv_icon

14:40 Uhr, 08.06.2012

Hallo,
ich hätte eine explizite Frage:
Es geht um die Flächenberechnung zwischen zwei Kurven.
Warum muss man bei der Integralrechnung, wenn man den Flächeninhalt zweier Kurven berechnen soll, immer die obere Kurve minus die untere Kurve rechnen, wenn man doch sowieso den Betrag nimmt???
Könnte mir das einer bitte genau erläutern?

Liebe Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalte
Flächenmessung
Kreis: Umfang und Flächeninhalt
Kreisteile: Berechnungen am Kreis

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Rasaphar aktiv_icon

15:15 Uhr, 08.06.2012

EDIT: Hab grad gemerkt, dass deine Frage eine andere ist :-P)
Es ist egal, ob du obere minus untere oder untere minus obere nimmst, wichtig zu wissen ist, dass am Ende die Fläche, ob positiv oder Negativ, immer als positiv genommen wird (es gibt ja keine negativen Flächen)

__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}_

Das nennt sich "Differenzfunktion".

Es ist eine elegantere, schnelle Möglichkeit, um die Fläche zwischen den Graphen zu berechnen.
Uneleganter und aufwändiger wäre es, wenn man beide Flächen einzeln berechnen würde und danach subtrahiert.
Das bedeutet: 2 mal integrieren (und wer will das schon? :-P) )

Nehmen wir mal an, du willst die Fläche zwischen

f (x) = x + 4

und

g (x) = x + 2

im Intervall von 0 bis

10

berechnen.

Da wäre es doch unnötig, erst das Parallelogramm unter

f (x)

zu berechnen und danach das unter

g (x)

. Denn wenn ich dieses Parallelogramm in ein Dreieck und ein Rechteck aufteile und nur die Differenz berechnet. Man lässt in dem Beispiel das obere Dreieck und ein Teil des unteren Rechtecks weg.

f (x) - g (x) = x + 4 - x - 2 = 2

also

h (x) = 2

Hab dir das mal in einem Bild aufgemalt. Sollte dann klar sein.

Fazit: Man nimmt dieses Verfahren, weil es einfacher und schneller geht.

MfG

Matlog aktiv_icon

15:26 Uhr, 08.06.2012

Ich verstehe die Frage anders:
Warum muss man obere minus untere Funktion rechnen, anstatt einfach eine Funktion minus die andere, ohne zu wissen, welche die obere ist?
Die Frage kann ich nicht beantworten, weil man das tatsächlich nicht schon vorher wissen muss! Wie Du schon sagst, durch den Betrag stimmt am Ende ja wieder alles!

Was allerdings nicht sein darf: Im Integrationsbereich ist teilweise die eine, teilweise die andere Funktion die obere. (Also im Integrationsbereich darf kein Schnittpunkt mehr sein!)

Fatma1994 aktiv_icon

15:47 Uhr, 08.06.2012

Es ist eine elegantere, schnelle Möglichkeit, um die Fläche zwischen den Graphen zu berechnen.
Uneleganter und aufwändiger wäre es, wenn man beide Flächen einzeln berechnen würde und danach subtrahiert.
Das bedeutet: 2 mal integrieren (und wer will das schon? :-P)) ) "

Hallo Rasaphar..diesen Teil deines Beitrages verstehe ich nicht ganz. Was genau meinst du damit? Man berechnet doch allgemein immer alle Teilflächen einzeln aus?! Aber du beziehst dich wie ich sehe an deine Zeichnung..aber trotzdem weiss ich nicht ganz was du damit meinst :-P)

Atlantik aktiv_icon

16:17 Uhr, 08.06.2012

Ich habe mal 2 Funktionen:

f (x) = {(x - 3)}^{2} + 1

ist in der Zeichnung rot dargestellt.

g (x) = - {(x - 4)}^{2} + 5

ist in der Zeichnung grün dargestellt.

1.)Berechnest du nun die Fläche unter dem roten Graphen in den Grenzen

D

und

C,

so bekommst du eine Fläche die außerhalb der gemeinsamen Fläche liegt.

2.)Berechnest du jetzt die Fläche unter dem grünen Graphen in den Grenzen

D

und

C,

so bekommst du eine Fläche, die die bei

1 .)

berechnete Fläche enthält. Für die gemeinsame Fläche zwischen den Graphen brauchst du die bei 1.)berechnete Fläche nun nicht.

Darum kannst du gleich

g (x) - f (x)

berechnen und dann integrieren.

mfG

Atlantik

Rasaphar aktiv_icon

23:03 Uhr, 09.06.2012

GEnauso, wie Atlantik es schreibt, mein ich das.

Bei seinem Beispiel könntest du entweder beide Flächen unter den Kurven einzeln berechnen und subtrahieren (welche von welcher ist egal, am Ende einfach positives Ergebnis nehmen) ooooooder du bestimmt die Differenzfunktion und integrierst die.
Dann sparst du dir einmal integrieren.

MfG

Atlantik aktiv_icon

11:23 Uhr, 12.06.2012

Ich habe mal eine ähnliche Figur gezeichnet:

Es sollen die Fläche A)zwischen den roten, grünen und blauen Linien

B)

zwischen den grün,roten Grenzen und C)zwischen den rot,grün gelben Linien berechnet werden

f (x) = {(x - 2)}^{2} + 4

ist grün dargestellt

g (x) = - {(x - 3)}^{2} + 9

ist rot gezeichnet.

Zuerst berechnest du die Schnittpunkte von

f (x)

und

g (x)

Es sind dies

A (1 | 5)

und

B (4 | 8)

.

Nun musst du

f (x) - g (x)

berechnen:

h (x) = {(x - 2)}^{2} + 4 - [- {(x - 3)}^{2} + 9]

h (x) = 2 x^{2} - 10 x + 8

A = \int_{0}^{1} (2 x^{2} - 10 x + 8) \cdot d x = {(\frac{2}{3} x^{3} - 5 x^{2} + 8 x + C)}_{0}^{1}

A = (\frac{2}{3} \cdot 1^{3} - 5 \cdot 1^{2} + 8 \cdot 1 + C) - (\frac{2}{3} \cdot 0^{3} - 5 \cdot 0^{2} + 8 \cdot 0 + C)

A = \frac{2}{3} - 5 + 8 = 3,6666

B = \int_{1}^{4} (2 x^{2} - 10 x + 8) \cdot d x = {(\frac{2}{3} x^{3} - 5 x^{2} + 8 x + C)}_{1}^{4}

B = (\frac{2}{3} \cdot 4^{3} - 5 \cdot 4^{2} + 8 \cdot 4 + C) - (\frac{2}{3} \cdot 1^{3} - 5 \cdot 1^{2} + 8 \cdot 1 + C)

B = (\frac{2}{3} \cdot 64 - 5 \cdot 16 + 32 + C) - (\frac{2}{3} - 5 + 8 + C)

B = | - 9 | = 9

C = \int_{4}^{5} (2 x^{2} - 10 x + 8) \cdot d x = {(\frac{2}{3} x^{3} - 5 x^{2} + 8 x + C)}_{4}^{5}

C = (\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - 5 \cdot 5^{2} + 8 \cdot 5 + C) - (\frac{2}{3} \cdot 4^{3} - 5 \cdot 4^{2} + 8 \cdot 4 + C)

C = (- 1,666666667 + C) - (- 5,333333333 + C)

C = 3,6666667

Wenn nun das ganze Flächengebilde nach unten geschoben ist, so dass die x-Achse die Figur durchschneidet, gehst du genau so vor.

mfG

Atlantik

kristy1993 aktiv_icon

19:46 Uhr, 12.06.2012

Danke, danke, danke

!!!!!!!

:-)

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