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Interpetation eines Grenzwertes

Schüler

Tags: Grenzwert

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18:48 Uhr, 17.04.2025

Hallo,

ich habe folgende Gleichung:

lim_{x \to 0} 2 x = 0

Interpretation 1: Nähert sich

x

unendlich dicht dem Wert 0 an, dann nähert sich

2 x

ebenfalls unendlich dicht dem Wert

0

an.
Interpretation 2:

2 x

ist gleich 0, wenn

x

sich unendlich dicht dem Wert

0

annähert.

Welche Interpretation ist denn richtig? Und was wäre dann eine bessere Formulierung?

Danke im Voraus.

Gruß
pivot

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
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mathadvisor aktiv_icon

18:57 Uhr, 17.04.2025

Math. Zusammenhänge lassen keine unterschiedlichen Interpretationen zu. Interp 2 ist falsch, und Interp 1 math. unsauber, aber (vermutlich) richtig gemeint.
Die Bedeutung dieses Zusammenhangs erhält man, wenn man für

lim

die Def. aus der Lehrveranstaltung einsetzt, und zwar ganz präzise, ohne Abweichungen. Wenn man die Def. über Folgen nimmt (-> Lehrveranstaltung!), dann gibt das auch eine einleuchtende Aussage (meine ich) und man braucht nichts zu interpretieren.

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19:11 Uhr, 17.04.2025

Ja, danke. Also Interpretation 1 ist in der Tendenz richtig.
Mir geht es genau darum. Wie drückt man es in wenigen Worten richtig aus. Gerne so, dass es auch ein Schüler versteht. Es wird ja schließlich in der Schule behandelt.

KL700 aktiv_icon

19:29 Uhr, 17.04.2025

„2x ist gleich

0,

wenn

x

sich unendlich dicht dem Wert 0 annähert.“
Diese Interpretation ist problematisch.
Warum? Weil sie „ist gleich“ (also eine Gleichheit) behauptet, obwohl es um eine Annäherung geht.
Ein Grenzwert sagt nicht, dass der Funktionswert genau den Grenzwert annimm, sondern nur dass er sich ihm annähert.
Annähern heißt nicht "gleich sein", Widerspruch beim Prädikat.

2 x

wird nie 0.

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19:58 Uhr, 17.04.2025

OK. Danke KL700. Dann lege ich den Fokus auf die Unterscheidung zwischen dem Fall der Grenzwertbetrachtung und dem Fall

x = a

.

Danke auch an mathadvisor.

calc007

21:38 Uhr, 17.04.2025

Hallo
Ausgerechnet die Beschreibung von KL70000000000 ist doch die fehlweisenste aller obigen Versuche.
Ein Grenzwert ist auch streng mathematisch eine echte Gleichung.

z . B . :

lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0

. .

. und zwar EXAKT Null, nicht irgendwie näherungweise.

lim_{x \to 7} \frac{x^{2} - 49}{x - 7} = 14

. .

. und zwar EXAKT vierzehn, nicht irgendwie näherungweise.

lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{i^{2}} = \frac{π^{2}}{6}

. .

. und zwar EXAKT

\frac{π^{2}}{6},

nicht irgendwie näherungweise.

Nur diese Fragestellung ist irgendwie 1.April -tauglich.
für

x = 0

gilt doch ohnehin

2 \cdot x = x = 0

Da braucht's doch gar keinen Goggoloris um irgendwelche Grenzwerte...

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22:02 Uhr, 17.04.2025

@calc007

Ich habe es eben genauso nicht verstanden. Der Grenzwert ist

0

bzw

14

. Aber es gilt nicht, dass der Term gleich

0

oder

14

ist, wenn

x \to \infty

bzw.

x \to 7

calc007

22:05 Uhr, 17.04.2025

Versuch dich doch mal in ganzen Sätzen zu verstehen zu geben.

Auf die Gefahr, dass ich mich wiederhole:

lim_{x \to 7} \frac{x^{2} - 49}{x - 7} = 14

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22:06 Uhr, 17.04.2025

Ganze Sätze bitte. Danke.
Es geht ja genau um die Interpretation der Gleichung.

calc007

22:10 Uhr, 17.04.2025

lim_{x \to 0} 2 \cdot x = 0

In Worten:
Der Grenzwert von

(2 \cdot x)

für

x \to

Null

IST

Null.

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22:13 Uhr, 17.04.2025

Genau darum ging es, wie der Grenzwert zu interpretieren ist.

KL700 aktiv_icon

09:40 Uhr, 18.04.2025

"Interpretation

2 : 2 x

ist gleich

0,

wenn

x

sich unendlich dicht dem Wert 0 annähert."

Bei dieser Formulierung sehe ich es anders:

2 x = 0

stimmt nicht, weil auch bei der dichtesten Annäherung exakt 0 nicht erreicht wird.
Die Frage ist: Was meint dichteste Annäherung?
Es ist

m . E

. immer noch nur eine Annäherung,l auch wenn sie noch so dicht ist.
Hingegen ist mMn die Aussage, dass der Grenzwert ist, korrekt.
Oder übersehe ich hier etwas bzw, missachte ich etwas Definitorisches?

calc007

09:55 Uhr, 18.04.2025

Vielleicht klärt sich dieses im-Kreise-Reden ja ein klein wenig besser, wenn mal die Aufgabe klarer gestellt wäre.
Für die Gerade

y = 2 \cdot x

lernt jeder Fünftklässler, dass da an der Stelle

x = 0

auch der Funktionswert

y = 0

raus kommt.
Und zwar ganz ohne Zweifel, Grenzwert-Verkomplizierung und Näherungs-Gemurkse.

pivot aktiv_icon

19:54 Uhr, 18.04.2025

Für mich ist die Frage beantwortet.
Der Grenzwert betrachtet eine Annäherung. Ob der Grenzwert auch der Funktionswert an der betrachteten Stelle ist steht erst einmal auf einem anderen Blatt.

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