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Keine Nullstellen im Komplexen
Schüler Ausbildungsstätte,
Tags: Exponentialfunktion, Komplex
 
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Hi, ich habe gerade gelesen, dass die Exponentialfunktion selbst im Komplexen keine Nullstellen hätte. Das "selbst" fand ich irgendwie mysteriös. Was ist denn ausschlaggebend, dass man eine Gleichung sogar im Komplexen nicht lösen kann? Ich hätte jetzt gedacht, dass sich irgendwie alles im komplexen lösen lässt. Könnte man die Zahlen sinnvoll so erweitern, dass auch die Exponentialfunktion Nullstellen hätte, oder macht das keinen Sinn, weil dann noch mehr verloren geht. Bei den komplexen Zahlen geht ja schon die Vergleichbarkeit verloren. Ich würde mich freuen wenn jemand mal dazu was schreiben könnte was es damit auf sich hat. Das finde ich schon ziemlich interessant. :-) Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff) Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hallo, das ist eine interessante Frage, allerdings glaube ich nicht, dass man leicht beantworten kann, was dafür "ausschlaggebend" ist. Der wichtigste Fall für die Nullstellenbetrachtung im Komplexen sind sicherlich Polynome (Fundamentalsatz der Algebra) - hast Du Dich damit schon beschäftigt? Wir können uns ja das Beispiel der Exponentialfunktion nochmal anschauen, weil Du gefragt hast, ob man die Zahlen vielleicht noch geeignet erweitern könnte: Eine Nullstelle der Exponentialfunktion hätte also die Eigenschaft . Wir wünschen uns auf jeden Fall, dass dieses Produkt genau dann Null wird, wenn einer der beiden Faktoren Null ist (eine Erweiterung, die das kaputt macht, wäre, glaube ich, ein Verlust). Okay, der erste Faktor wird genau deshalb nicht Null, weil die Exponentialfunktion im Reellen keine Nullstelle hat, daran können wir nicht rütteln. Die letzte Möglichkeit wäre also , wofür Kosinus und Sinus eine gemeinsame Nullstelle bräuchten. Aber eine Zahlenerweiterung oder Ähnliches würde uns dabei auch nicht helfen, weil das sozusagen ein rein reelles Problem ist. Und an Sinus und Kosinus können wir jetzt auch nicht mehr rütteln... Hast Du Dir ungefähr so etwas vorgestellt? |
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Ich habe rein interesse halber gefragt. Mit dem Fundamentalsatz der Algebra habe ich mich noch nicht beschäftigt. Ich bin noch Schüler und hatte das mit den nicht komplexen Nullstellen der Exponentialfunktion auf Wikipedia gelesen, was ich halt recht cool fand. Ich dachte immer man könnte eigentlich alles innerhalb der komplexen Zahlen lösen. Ich finde es interessant, dass, trotz der Rechnung im Komplexen, mit der ich mich leider auch noch nicht so gut auskenne, es auf eine reelle Berechnung hinausläuft. In dem Fall hast du meine Frage also wohl gut beantwortet. Danke. Für weitere Erklärungen wäre ich natürlich auch dankbar. :-) |
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Na ja, eine leere Lösungsmenge ist ja auch eine Lösung; eigentlich auch eine angenehme. Selbst im Komplexen, wo mehr "echte" Lösungen existieren als im Reellen, kann es außerdem sein, dass man keine Möglichkeit hat, eine existierende Lösung explizit darzustellen, wie mit der p-q-Formel oder Ähnlichem. Dass letztendlich ein reelles Problem entsteht, hast Du genau richtig beobachtet; das liegt vor allem daran, dass die Menge der komplexen Zahlen sehr eng mit dem verwandt ist und auch darüber definiert werden kann. |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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