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Konvergenz einer Folge beweisen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Grenzwerte

Tags: Analysis, Folgen und Reihen, Grenzwert, Potenz, Term umformen

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13:07 Uhr, 02.11.2023

Hallo, ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter und würde mich über Hilfe freuen.

"Zeigen Sie, dass die Folge

(a_{n})

n∈N mit

a_{n} = \frac{3 n^{2} + {(- 1)}^{n}}{n^{2} + 1}

konvergent ist, berechnen Sie
ihren Grenzwert und diskutieren Sie, auf welche Weise sich die Glieder an dem Grenzwert

a_{n}

annähern!"

Mein Ansatz war folgender:

Grenzwert:

Ich glaube man sieht deutlich, dass es gegen 3 konvergiert, dazu habe ich einfach umgeschrieben zu

n^{2} \frac{3 + \frac{{(- 1)}^{n}}{n^{2}}}{n^{2} (1 + \frac{1}{n^{2}})}

dann

n^{2}

gekürzt und mit

lim

gezeigt dass beide Brüche im Bruch gegen 0 laufen, somit bleibt

\frac{3}{1}

übrig

Laut der Definition der Konvergenz müssen wir zu jedem

ε > 0

ein

N \in ℕ

finden, so dass für alle

n \geq N

gilt:

| a_{n}

−

3 | < ε

Dazu vereinfache ich den Ausdruck zu

\Rightarrow | \frac{3 n^{2} + {(- 1)}^{n}}{n^{2} + 1} - 3 |

durch Umformung zu

\frac{{(- 1)}^{n} - 3}{n^{2} + 1} < ε

Nun forme ich die Ungleichung

\frac{{(- 1)}^{n} - 3}{n^{2} + 1} < ε

um, zu einer Ungleichung der Form

n >

… um dann eine passende Bedingung zu

n

zu finden und auch für

N

(Archimedisches Axiom)
Nur weiß ich da nicht so richtig, wie ich den Term umformen soll, da mich die Potenz ein wenig verunsichert.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

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Respon

13:26 Uhr, 02.11.2023

\frac{3 \cdot n^{2} + {(- 1)}^{n}}{n^{2} + 1} = \frac{3 \cdot n^{2}}{n^{2} + 1} + \frac{{(- 1)}^{n}}{n^{2} + 1}

\frac{3 \cdot n^{2}}{n^{2} + 1} = \frac{3}{1 + \frac{1}{n^{2}}}

Überlege dir :

lim_{n \to \infty} \frac{3}{1 + \frac{1}{n^{2}}} = 3

und

lim_{n \to \infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{n^{2} + 1} = 0

Da jeweils der Zähler konstant ist bzw. nur die Werte

+ 1

und

- 1

annimmt und der Nenner gegen 1 bzw.

\infty

geht.

HAL9000

14:01 Uhr, 02.11.2023

Erstens: Es ist nicht

∣ a_{n} - 3 ∣ \overset{?}{=} \frac{{(- 1)}^{n} - 3}{n^{2} + 1}

, sondern stattdessen

∣ a_{n} - 3 ∣ = \frac{3 - {(- 1)}^{n}}{n^{2} + 1}

, denn da sollte schon was

\geq 0

stehen.

Zweitens: Wenn du wirklich für jedes

ε

ein

N

angeben, so dass die Ungleichung

\frac{3 - {(- 1)}^{n}}{n^{2} + 1} < ε

für alle

n \geq N

gilt, dann ist es nicht zwingend nötig, diese wirklich zu lösen. Es reicht auch aus, diesen Term links zunächst nach oben abzuschätzen durch eine geeignete monoton fallende (!!!) Nullfolge, hier eignet sich