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Konvergenz einer Potenzreihe bestimmen

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert, Konvergenz, Potenzreihe

Connor1 aktiv_icon

15:41 Uhr, 18.01.2017

Hallo zusammen,

mit dem Thema Konvergenz/Divergenz von Folgen und Reihen habe ich noch große Schwierigkeiten.
Ich hänge gerade an dieser Aufgabe und bin mir nicht so ganz sicher wie ich vorgehen muss.

Bestimmen Sie für welche

x \in ℝ

die Potenzreihe konvergiert.

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{k^{4}}{k^{7} 6^{k}} {(x - 4)}^{k}

Also das

k^{4}

im Zähler kann man ja kürzen sodass

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{3} 6^{k}} {(x - 4)}^{k}

gilt.

Ich weiß nicht genau welches Kriterium ich amwenden muss. Mein Skriptum hilft mir nicht weiter, dafür ist es zu abstrakt geschrieben.

Ich hoffe mir kann jemand mit der Aufgabe weiterhelfen.

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
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15:59 Uhr, 18.01.2017

Wurzelkriterium

Connor1 aktiv_icon

16:12 Uhr, 18.01.2017

also ich habe es gerade mit dem Quotientenkriterium gerechnet und komme auf den Konvergenzradius

R = 6

.

Stimmt das?

Muss ich das jetzt oben einsetzen und eine Randwertbetrachtung mit

x = - 6

und

x = 6

durchführen?

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16:17 Uhr, 18.01.2017

"Stimmt das?"

Ja.

"Muss ich das jetzt oben einsetzen und eine Randwertbetrachtung mit und durchführen?"

Ja, nur nicht mit

x = - 6

und

x = 6

, sondern mit

x = 4 - 6

und

x = 4 + 6

Connor1 aktiv_icon

16:28 Uhr, 18.01.2017

Also nicht

x = - 6 - 4

und

x = 6 - 4

?

ich würde so für

x = - 10

auf eine alternierende Reihe mit

{(- 1)}^{k} \cdot \frac{4^{k}}{k^{3}}

kommen. das strebt ja gegen plus/minus

\infty

oder?

für

x = 2

dann auf

\frac{1}{k^{3} \cdot 4^{k}}

. das wäre eine Nullfolge.

Stimmt das?

ich müsste ja dann noch mit bestimmten Kriterien (leibniz etc.) zeigen dass die Reihe auch wirklich konvergent ist.
Welche Kriterien kommen hier in frage ?

wäre dann die Reihe konvergent auf

[- 6,6]

?

Vielen Dank :-)

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16:34 Uhr, 18.01.2017

Wie kommst Du denn auf

- 4 - 6

?

Du hast Konvergenzradius

6

, richtig. Aber um den Punkt

4

, nicht um den Punkt

0

.
Denn es steht doch

(x - 4)^{k}

. Das "Zentrum" der Reihe ist also

4

.
Warum schreibst Du dann am Ende

[- 6, 6]

? Das ist der Konvergenzbereich für

x - 4

, nicht für

x

. Für

x

musst Du um

4

verschieben. D.h. der Konvergenzbereich ist

(- 2, 10)

, wobei die Randpunkte

- 2

und

10

extra betrachten werden müssen.

Connor1 aktiv_icon

16:47 Uhr, 18.01.2017

Hmmm das habe ich dann falsch verstanden.

Für

x = - 2

komme ich dann auf eine alternierende Nullfolge

{(- 1)}^{k} \sum_{k = 1}^{00} \frac{1}{k^{3} \cdot 4^{k}}

wäre das dann konvergent nach den leibniz Kriterium

für

x = 10

komme ich auf

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{4^{k}}{k^{3}}

stimmt das? Hierfür müsste ich dann auch ein Kriterium finden.

Wie würden dann die abschließenden Worte der Aufgabe lauten?

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16:52 Uhr, 18.01.2017

Wo hast Du

4^{k}

her?

Connor1 aktiv_icon

17:03 Uhr, 18.01.2017

ups... ich habe falsch gekürzt :-)

also nochmal

{(- 1)}^{k} \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{2^{k}}{k^{3} \cdot 6^{k}}

und

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{10^{k}}{k^{3} \cdot 6^{k}}

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17:08 Uhr, 18.01.2017

Immer noch falsch.
Du hast

(x - 4)^{k}

, vergiss das nicht. Also

x = - 2

und

x = 10

werden in

(x - 4)^{k}

eingesetzt!

Connor1 aktiv_icon

17:18 Uhr, 18.01.2017

Jetzt verstehe ich erst wie ich vorgehen muss.

Sieht die Reihe dann wie folgt aus?

{(- 1)}^{k} \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{3}}

und

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{3}}

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17:19 Uhr, 18.01.2017

Ja, nur muss

(- 1)^{k}

innerhalb

\sum

stehen

Connor1 aktiv_icon

17:20 Uhr, 18.01.2017

Ah okay super!

wie sollte dann der abschließende Antwortsatz aussehen?

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17:34 Uhr, 18.01.2017

"wie sollte dann der abschließende Antwortsatz aussehen?"

konvergiert genau dann wenn

x \in [- 2, 10]

Connor1 aktiv_icon

17:38 Uhr, 18.01.2017

Vielen Dank, jetzt weiß ich wie ich vorgehen muss!

Super Hilfe!

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