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Konvergenz einer rekursiven Folge, alternierend

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Grenzwerte

Tags: Folgen und Reihen, Grenzwert, rekursive Darstellung

Moe1193 aktiv_icon

10:41 Uhr, 17.03.2017

Hallo,

hab für nächste Woche an der Uni eine Aufgabe zu lösen, bei der ich leider nicht weiter komme. Es geht dabei, die Konvergenz folgender rekursiv gegebener Folge zu zeigen:

y_{n + 1} = a + \frac{a}{y_{n}}, y_{0} = a, a \in ℝ, a > 0

Was ich schon herausgefunden habe, ist, dass die Folge zwischen a und

a + 1

auf und abspringt, also nicht monoton ist. Meine Idee wäre es, die Folge in zwei Teilfolgen aufzuteilen, die monoton sind und von deren Teilfolgen dann die Monotonie+beschränktheit zu zeigen. Nur scheitert es eben an der Umsetzung.

Danke im voraus schon mal für alle Antworten. Ich bin für jede Hilfe dankbar.

Liebe Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
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Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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pwmeyer aktiv_icon

11:17 Uhr, 17.03.2017

Hallo,

verfolge mal Deine Idee und leite die Rekurision für

x_{n} := y_{2 \cdot n}

her, also

x_{n + 1} = y_{2 \cdot n + 2} = a + \frac{a}{y_{2 \cdot n + 1}} = a + \frac{a}{a + \frac{a}{x_{n}}}

Wenn Du das ein wenig umformlst, kann Du "sehen", das die Folge

x_{n}

monton ist.

Gruß pwm

Moe1193 aktiv_icon

10:44 Uhr, 18.03.2017

Ok super!
Also ich habe jetzt meine ursprüngliche Folge

y_{n}

aufgeteilt in zwei Teilfolgen mit

x_{n} := y_{2 n}

und

z_{n} := y_{2 n + 1}

. Von diesen beiden Folgen ist es relativ einfach zu zeigen, dass

x_{n}

bzw.

z_{n}

monoton steigend bzw. monoton fallend sind. Allerdings fehlt mir jetzt noch jeweils die Beschränktheit sauber hinzuschreiben. Ideal wäre es, für beide Teilfolgen die selbe Schranke zu bekommen, denn dann wäre dies ja direkt auch der GW, oder?

Liebe Grüsse

pwmeyer aktiv_icon

17:20 Uhr, 18.03.2017

Hallo,

die Beschränktheit kannst Du der Originalfolge ansehen:

1 : y_{n} \geq 0,

klar

2 : y_{n + 1} = a + \frac{a}{y_{n}} \geq a

wegen 1.

3 : y_{n + 1} = a + \frac{a}{y_{n}}) \leq a + \frac{a}{a} = a + 1

wegen 2.

Gruß pwm

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