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Konvergenz komplexe Folge -- mach ich das richtig?

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Komplexe Zahlen

Komplexe Analysis

Tags: Folgen, Grenzwert, Komplexe Analysis, Komplexe Zahlen, Reihen

Muetzerich aktiv_icon

01:12 Uhr, 26.11.2010

Hallo!

Ich hänge bei einer Übungsaufgabe fest, und merke, dass ich ein paar grundlegendere Probleme in Analysis habe, die mich hier nicht weiterkommen lassen.

Ich soll auf Konvergenz untersuchen und den Grenzwert bestimmen von:

a_{n} = \frac{(2 n + i n)^{2} + 3 i n}{(n + i)^{2}}

Komplexe Folgen sind noch etwas ziemlich neues für mich, also versuche ich erst mal die Folge in Real- und Imaginärteil zu zerlegen, um dann nur noch die Konvergenzen von Reellen Folgen zeigen zu müssen. Vertrautes Territorium ... hatte ich zumindest gedacht. Nach einigem Ein- und Ausklammern sowie erweitern erhalte ich:

a_{n} = \frac{3 n^{4} + 8 n^{3} + 3 n^{2}}{n^{4} + 2 n^{2} + 1} + i \frac{4 n^{4} - 3 n^{3} - 4 n^{2} - 3 n}{n^{4} + 2 n^{2} + 1} = R e a_{n} + i I m a_{n}

Ich bin mir ziemlich sicher, dass das stimmt, hab es zwei mal nachgerechnet.

So, was jetzt? Intuitiv sehe ich den beiden Folgen an, dass sie konvergieren (hoch vier in Zähler und Nenner macht gegen Unendlich die anderen Exponenten "platt"). Wenn ich davon ausgehe, dass sie konvergieren, kann ich mit den Rechenregeln für Grenzwerte sogar ausrechnen, dass

lim_{n \to \infty} R e a_{n} = 3

und

lim_{n \to \infty} I m a_{n} = 4

ohne mich in Widersprüche zu verstricken. Aber damit habe ich ja nicht die Annahme bewiesen, dass die Folgen konvergent sind (oder??)

Ich hab da glaub ich irgendwo am Anfang nicht richtig aufgepasst. Wie beweise ich hier Konvergenz? Benutzen darf ich: ε-N-Kriterium, Cauchy-Kriterium, Einschließungskriterium, Monotonie+Beschränktheit, Bolzano-Weierstraß.

Über ein paar Tipps würde ich mich sehr freuen!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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DmitriJakov aktiv_icon

01:54 Uhr, 26.11.2010

Wie kommst Du auf

n^{4}

Muetzerich aktiv_icon

02:06 Uhr, 26.11.2010

Ich löse die Klammer im Nenner auf (

(n + i)^{2} = n^{2} - 1 + i 2 n

) und erweitere dann mit

n^{2} - 1 - i 2 n

um das

i

aus dem Nenner wegquadrieren zu können. Die ich rief, die hoch-4en, werd ich nun nicht los. Ich habe auch gestutzt, aber vielleicht ist das ja oft so, dass eine Komplexe Folge an Eleganz verliert, wenn man Real- und Imaginärteil auseinanderzieht.

DmitriJakov aktiv_icon

03:20 Uhr, 26.11.2010

Komplexe Zahlen sind für mich auch ziemlich rote Tücher. Aber wenn man jetzt mal das imaginäre für einen Moment ignoriert, dann kann man doch folgendes einfach mal machen:
Aus

\frac{{(2 n + i n)}^{2} + 3 i n}{{(n + i)}^{2}}

wird

\frac{4 n^{2} + 4 n^{2} i + i^{2} n^{2} + 3 i n}{n^{2} + 2 n i + i^{2}}

i^{2} = - 1

wird das zu:

\frac{4 n^{2} + 4 n^{2} i - n^{2} + 3 i n}{n^{2} + 2 n i - 1} = \frac{3 n^{2} + 4 n^{2} i + 3 i n}{n^{2} + 2 n i - 1}

Für

lim_{n \to \infty}

bleiben nur die Teile mit

n^{2}

relevant, also

3 \frac{n^{2}}{n^{2}} + 4 i \frac{n^{2}}{n^{2}}

Also konvergiert das gegen

3 + 4 i,

wie Du ja selber schon ermittelt hast. Ich sehe da kein Problem, denn man könnte

i

ja auch als

\sqrt{- 1}

mitschleppen, und dann ist sie beim Limes eine Zahl wie jede andere auch.

Muetzerich aktiv_icon

03:36 Uhr, 26.11.2010

Danke für die späte Mathe-Session. :-)

Kannst du mir erklären, wie nur aus den Konvergenzkriterien, die ich benutzen darf (s.o.) folgt, dass ich nur die

n^{2}

betrachten muss? Das ist ja auch das Problem, bei dem ich stehen geblieben war.

Und durfte ich das, was ich oben zuletzt gemacht hatte? Einfach so tun, als wären sie konvergent, Grenzwert ausrechnen und dann die Aufgabe für fertig erklären, weil ich auf keinen Widerspruch gestoßen bin?

DmitriJakov aktiv_icon

03:54 Uhr, 26.11.2010

Ehrlich gesagt, im Bereich der komplexen Zahlen bin ich nicht sattelfest genug, um Dir auf Deine Frage eine definitive Antwort zu geben. Ich bin kein Mathematiker oder Mathematik Lehrer. Deswegen habe ich mich hier auch in die Kategorie "Sonstige User" eingetragen.

Vielleicht wird im Laufe des kommenden Tages nochmal einer aus der Kategorie "Lehrer" auf Deine Frage aufmerksam. Schiebe sie einfach nochmal hoch, wenn hier wieder mehr Betrieb ist.

Muetzerich aktiv_icon

03:55 Uhr, 26.11.2010

Okay, ich warte mal, ob noch wer was zu meinem Ansatz zu sagen hat. Dank dir bisher!

pwmeyer aktiv_icon

07:55 Uhr, 26.11.2010

Hallo,

eine formal etwas klarer Variante der Diskussion über die n^2-Terme ist Folgendes: Du erweiterst den Bruch mit

\frac{1}{n^{2}}

(allgemein nimmst Du statt 2 die höchste vorkommende Potenz). Dann bleibt eine rationale Funktion übrig, deren Terme Konstanten oder offensichtliche Nullfolgen sind...

Gruß Peter W. Meyer

DmitriJakov aktiv_icon

08:00 Uhr, 26.11.2010

Einen Bruch mit

\frac{1}{n^{2}}

erweitern heisst mit anderen Worten ihn um

n^{2}

kürzen.

War es das, was Du meintest?

Bummerang

08:05 Uhr, 26.11.2010

Hallo,

der Lösungsversuch von DmitriJakov führt zwar (zufälligerweise) zum richtigen Ergebnis, aber der Weg ist falsch. Man betrachte als Gegenbeispiel mal die Folge:

\frac{3 \cdot n^{2} + 4 \cdot n^{2} \cdot i + 3 \cdot n \cdot i}{n^{2} + 2 \cdot n^{2} \cdot i - 1}

Der Argumentation von DmitriJakov folgend, würde auch diese Folge im Realteil gegen 3 konvergieren (den Imaginärteil schenke ich mir mal) aber man kann sich durch ein paar Berechnungen der Folgenglieder klar machen, dass das so nicht sein kann. Der ursprünglich von Muetzerich gegangene Weg ist der korrekte und dann reden wir hier nicht mehr von

\frac{1}{n^{2}}

sondern von

\frac{1}{n^{4}},

aber der Weg bleibt gleich!

DmitriJakov aktiv_icon

08:13 Uhr, 26.11.2010

Bummerang, da musst Du mich falsch verstanden haben, denn in Deinem Beispiel bleibt im Nenner ein Glied mit

i

relevant, ich kann also den Bruch nicht in 2 Teile spalten.

In meiner Argumentaion führt Dein Beispiel zu:

\frac{3 n^{2} + 4 n^{2} i}{n^{2} + 2 n^{2} i}

Also keine unmittelbare Trennung von Realteil und Imaginärteil möglich.

DmitriJakov aktiv_icon

08:31 Uhr, 26.11.2010

Um es nochmal deutlich zu machen:
mein Ziel war, einen Ausdruck zu formen, der sich in dieser Art schreiben lässt:
Reelle Zahl

+ i \cdot

Reelle Zahl. Dies war beim Beispiel vom Muetzerich möglich.

Die viel entscheidendere Frage ist aber, ob im Bereich der Komplexen Zahlen die allgemeinen Konvergenzkriterien eingeschränkt sind, oder sogar ungültig. Oder ob

i

eine Signifikanz behält, selbst wenn

i

mit einem infinitesimal kleinen Faktor multipliziert wird.

Muetzerich aktiv_icon

09:21 Uhr, 26.11.2010

Guten Morgen!

Mit

\frac{1}{n^{4}}

erweitern ist auch genau was ich gemacht habe, um die Grenzwerte 3 und 4 zu "berechnen" (so sie denn noch nicht offensichtlich waren). Aber was mir Sorgen macht, ist, ob ich da nicht einen logischen Fehler mache.

Mein Dilemma ist folgendes: Nach dem Erweitern mit

\frac{1}{n^{4}}

kann ich die Limiten ja in die einzelnen Summanden ziehen, und dann wird alles bis auf die Summanden die eine 4 im Exponenten stehen hatten eine Nullfolge und ich erhalte meine Grenzwerte.

Aber beim Reinzihen der Limiten gehe ich doch bereits davon aus, dass die Folgen konvergieren! Sonst könnte ich ja gar nicht mit Limiten rechnen. Damit habe ich dann zwar gezeigt, was der Grenzwert ist, FALLS die beiden Folgen konvergieren, aber DASS sie konvergieren habe ich einfach vorausgesetzt und mich dabei glücklicherweise nicht in Widersprüchen verstrickt. Ich habe einfach etwas behauptet, Zahlen hin und her geschubst und dann meine Behauptung wiederholt. Das genügt doch nicht, um wirklich formal korrekt Konvergenz zu zeigen, oder?

Und Dimitri: Wenn ich eine Folge wirklich auf die Form

a_{n} = R e a_{n} + i I m a_{n}

bringe, und zeige, dass Real- un Imaginärteil konvergieren, habe ich doch sicher gezeigt, dass

a_{n}

konvergiert. Nur für sich ist das

i

ja einfach nur ein konstanter Faktor vor einer konvergenten Folge (stört die Konvergenz nicht), also addiere ich zwei konvergente Folgen und erhalte wieder eine konvergente Folge. Der Grenzwert ist die Summe der Grenzwerte der beiden Folgen. So hat unser Prof zumindest die Regel hergeleitet, nach der ich jetzt vorgehe (Real- und Imaginärteil trennen, ...)

Bummerang

10:47 Uhr, 26.11.2010

Hallo DmitriJakov,

nur damit ich da nicht wieder was falsch verstehe! Bei der Folge

\frac{3 \cdot n^{3} + 4 \cdot n^{3} \cdot i + 3 \cdot n \cdot i}{n^{2} + 2 \cdot n^{3} \cdot i - 1}

sind nur die

n^{3}

relevant und Du kannst nach Real- und Imaginärteil trennen in der Art:

\frac{3 \cdot n^{3}}{n^{2}} + \frac{4 \cdot n^{3}}{2 \cdot n^{3}} \cdot i \Rightarrow

divergent

oder in der Art

\frac{3 \cdot n^{3}}{2 \cdot n^{3}} + \frac{4 \cdot n^{3}}{2 \cdot n^{3}} \cdot i \Rightarrow \frac{3}{2} + 2 \cdot i

Ich habe das noch immer nicht ganz verstanden, wann man wie zu trennen hat? Jedenfalls hat keine mir intuitiv erscheinende Trennung das Ergebnis gebracht, das ich erhalte, wenn ich das einfach mal durchrechne:

2 - \frac{3}{2} \cdot i

Bitte hilf mir, Deinen genial kurzen Weg zu verstehen!

DmitriJakov aktiv_icon

17:15 Uhr, 26.11.2010

@Bummerang:
Was Dein letztes Beispiel betrifft: weder die eine Art noch die andere, denn in Deinem Beispiel bleibt

i

im Nenner stehen. Da lässt sich der Realteil und der imaginäre Teil nicht trennen. In der Aufgabe von Muetzerich verschwinden im Nenner jedoch die imaginären Teile für

n \to \infty

in der Bedeutungslosigkeit und der Nenner wird real. Im Zähler bleibt eine Addition eines realen und eines imaginären Teils stehen, und deshalb kann ich den Bruch auseinander ziehen.
Schau einfach nochmal meine Rechnung von

3 : 30

an.

PS: in Deinem Beisoiel würde man nach meinem Rechenweg erhalten:

\frac{3 n^{3} + 4 n^{3} i}{2 n^{3} i}

Um den Nenner real zu machen, muss man mit

i

erweitern

\frac{3 n^{3} i + 4 n^{3} i^{2}}{2 n^{3} i^{2}} = \frac{3 n^{3} i - 4 n^{3}}{- 2 n^{3}}

Nun ist auch hier der Nenner real und ich kann den Bruch auseinander ziehen:

\frac{4 n^{3}}{2 n^{3}} - \frac{3 n^{3} i}{2 n^{3}} = 2 - \frac{3}{2} i

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