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Konvergenz mit der Definition

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Folgen und Reihen

Tags: Definition, Folgen, Grenzwert

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drehzeug

drehzeug aktiv_icon

17:41 Uhr, 19.01.2025

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Ich brauche hilfe bei dieser Aufgabe, der Grenzwert ist nicht gegeben, man kann aber vermuten dass er 2/3 ist. Ich weiß das ich dann | 2/3 - an | rechnen muss, es kommt bei mir aber einfach die ganze zeit was komisches raus und ich würde gerne schonmal einen richtigen Ansatz sehen und vielleicht auch eine Erklärung, da ich es auch verstehen will. Ich bedanke mich im voraus auf eure Antworten :-)

Screenshot 2025-01-19 163150

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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Antwort

KL700

KL700 aktiv_icon

18:03 Uhr, 19.01.2025

Antworten

Du kannst den Bruch mit

n^{3}

kürzen.
Das geht direkt oder indem du zuerst

n^{3}

in Zähler und Nenner ausklammerst und dann

n^{3}

wegkürzst.
Dass

\frac{2}{3}

der Grenzwert ist sieht man hier sofort, wie du richtig vermutest.

drehzeug

drehzeug aktiv_icon

18:04 Uhr, 19.01.2025

Antworten

Ich habe es jetzt so versucht wäre das richtig so?

Antwort

calc007

18:37 Uhr, 19.01.2025

Antworten

Formal ist das zweite Gleichheitszeichen unangebracht.
Schön, dass du das

a_{n}

nochmals vor Augen führst.
Aber

a_{n}

ist nunmal nicht das gleiche, wie

(a_{n} - \frac{2}{3})

Aber keine Sorge, wir ahnen schon, wie du's meinst...

Der Rest ist

o . k .,

hmmmm, auch wenn ich der Schrittweite von

\frac{9 \cdot n - 20}{9 \cdot n^{2} - 6}

zu

\leq \frac{1}{n}

nicht ganz so schnell folgen konnte. Da brauchte ich für mein Hirn und Denkvermögen schon noch einen Zwischenschritt.
Aber wie gesagt, prinzipiell

o . k

.

:-)

Antwort

HAL9000

19:11 Uhr, 19.01.2025

Antworten

Die Gleichung/Ungleichung

∣ \frac{9 n - 20}{9 n^{2} - 6} ∣ = \frac{9 n - 20}{9 n^{2} - 6} \leq \frac{1}{n}

ist zumindest für

n \geq 3

richtig.

Das sollte man schon betonen, denn beispielsweise für

n = 1

ist

∣ \frac{9 n - 20}{9 n^{2} - 6} ∣ \leq \frac{1}{n}

noch falsch.

D.h., tatsächlich sollte man besser mit

N = max {⌈ \frac{1}{ε} ⌉, 3}

arbeiten.

P.S.: Einigermaßen seltsam finde ich, warum die Folge nicht gleich als

a_{n} = \frac{2 n^{2} + 3 n - 8}{3 n^{2} - 2}

definiert wurde...

Frage beantwortet

drehzeug

drehzeug aktiv_icon

15:38 Uhr, 20.01.2025

Antworten

Vielen Dank für eure Hilfe! :-) es ist jetzt etwas deutlicher geworden

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