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Konvergenz mittels epsilon - Definition

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, Grenzwert, konvergente Folge, Konvergenz

Genovese aktiv_icon

14:49 Uhr, 03.11.2019

Hallo,

folgendes Problem:

Sei

{(a_{n})}_{n \in ℕ}

eine konvergente Folge mit Grenzwert

a > 0

. Zeigen Sie, dass es ein

K \in ℕ

gibt, sodass

a_{n} > 0

für alle

n > K

.

Ich soll also das

K

finden, ab dem alle Folgeglieder in der

ε -

Umgebung sind bzw. formal

\exists K \in ℕ

sodass

| a_{n} - a | < ε

für alle

n > K

.

Meine Idee war nun folgende:

Da ich bereits weiß, dass

a_{n}

eine konvergente Folge ist, ist sie auch eine Cauchy-Folge. Deshalb habe ich das Kriterium als

| a_{n} - a_{m} | < ε

geschrieben. Dann habe ich den Grenzwert

a > 0

als "fruchtbare Null" eingesetzt und die Dreiecksungleichung gebildet. Also

| a_{n} - a + a - a_{m} | \leq | a_{n} - a | + | a - a_{m} | < ε

| a_{n} - a | < ε,

dass weiß ich ja bereits. Aber was kann ich über

| a - a_{m} |

aussagen (vorausgesetzt die Idee hat überhaupt bis dahin Sinn gemacht)?

Vielen Dank für eure Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
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Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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michaL aktiv_icon

17:22 Uhr, 03.11.2019

Hallo,

> (vorausgesetzt die Idee hat überhaupt bis dahin Sinn gemacht)?

Die Voraussetzung ist aus meiner Sicht nicht erfüllt.

Du musst ein solches

K

nicht finden, nur beweisen, dass es eines geben muss.
Bedenke, der Grenzwert

a

ist größer als Null.

Wenn du Konvergenz korrekt verstanden hast/hättest (was aber erstaunlicherweise wirklich gar nicht so einfach ist), dann wäre dir klar, dass du jede positive reelle Zahl für ein

ε

wählen kannst.
Welche wäre denn geeignet, um sicherzustellen, dass

∣ a_{n} - a ∣ < ε

a_{n} > 0

führt?
Tipp: Klappe die Betragsungleichung zu einer Ungleichungskette aus!

Mfg Michael

Genovese aktiv_icon

23:39 Uhr, 03.11.2019

Danke dir erstmal! Dann versuche ich das mal umzusetzen.
Alles was mir als Ungleichungskette in den Kopf kommt ist folgendes:

| a_{n} - a | \leq | a_{n} | + | a | < ε,

wobei aufgrund von

a_{n} > 0

und

a > 0

auch

| a_{n} - a | \leq a_{n} + a < ε

gilt.

Sei nun

ε = 2 a_{n} + a,

dann gilt

a_{n} + a < 2 a_{n} + a \Leftrightarrow - a_{n} < 0 \Leftrightarrow a_{n} > 0

. (Ist es das, worauf du hinaus wolltest? Ansonsten stehe ich total auf dem Schlauch. Tut mir echt leid...)

Wählt man also

K > 2 a_{n} + a

gilt für alle

n > K : | a_{n} - a | < ε

.

Somit wäre (hoffentlich) bewiesen, dass ein solches

K

existiert. Wenn nicht wäre es super, wenn du mir da nochmal helfen könntest.

michaL aktiv_icon

07:37 Uhr, 04.11.2019

Hallo,

nein, du verstehst es nicht.

Da

(a_{n})_{n \in ℕ}

gegen

a > 0

konvergiert, gibt es zu jedem

ε > 0

ein

K (ε) \in ℕ

, sodass für alle

n \in ℕ

mit

n \geq K (ε)

die Betragsungleichung

∣ a_{n} - a ∣ < ε

gilt.

Mein Tipp war, diese Betragsungleichung zu einer äquivalenten Ungleichungskette auszuklappen:

a - ε < a_{n} < a + ε

Wenn man zeigen will, dass

a_{n} > 0

ab einem

n

, würde es reichen,

ε

geeignet zu wählen:

0 \overset{!}{<} a - ε < a_{n} < a + ε

Nun schau die Ungleichungskette an, und lies ein geeignetes

ε

ab (viele Lösungen sind möglich).

Mfg Michael

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