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Konvergenz oder Divergenz von Integralen

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Integration

Tags: Abschätzung, divergenz, Grenzwert, Integration, Konvergenz, Minoranten- Majorantenkriterium, Uneigentliches Integral

Nick2344 aktiv_icon

11:44 Uhr, 11.11.2016

Hallo liebes Forum.
Ich komme bei bei diesee Aufgabe einfach nicht weiter. Kann mir bitte ein paar Tipps geben,wie ich die einzelnen Integrale lösen kann?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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pwmeyer aktiv_icon

11:53 Uhr, 11.11.2016

Hallo,

gefragt ist doch nur, ob Konvergenz vorliegt oder Divergenz. Dazu braucht das Integral nicht unbedingt berechnet werden. Es gibt das Majoranten- und Minoranten-Kriterium. Vielleicht schaust Du Dir das mal im Skript an.

Gruß pwm

Nick2344 aktiv_icon

12:22 Uhr, 11.11.2016

Das schwierige ist eine Maijorante oder Minorante zu finden. Kannst du mir ein paar Tipps dabei geben?

ledum aktiv_icon

15:26 Uhr, 11.11.2016

Hallo
a vergrößere. indem du den Integralen mit

3 x^{2} > 1

multiplizierst und dann das Integral auswerten.

c

kannst du das Integral hinschreiben für

α = 1

und

\neq 1

getrennt
b)vielleicht Reihe für

sinh (\sqrt{x}))

und dann verkleinern
Gruß ledum

Nick2344 aktiv_icon

19:31 Uhr, 11.11.2016

Bei

a)

steht dann die innere Ableitung des Nenners im Zähler. Was mache ich dann nit dem alpha?

Nick2344 aktiv_icon

19:36 Uhr, 11.11.2016

Bei

c

für

α = 1

folgt für die Stammfunktion:

- ln (1 - x)

Aber bei der Grenze von 1 funktioniert es ja nicht. Also Divergenz?
Wie geht es bei

α

ungleich 1

Nick2344 aktiv_icon

20:09 Uhr, 12.11.2016

Wenn ich bei das integral mit

3 x^{2}

multipliziere, wie kann ich es dann auswerten mit dem alpha?

Nick2344 aktiv_icon

01:08 Uhr, 13.11.2016

Kann mir jmd wenigstens zu a noch ein paar mehr Tipps geben?

Nick2344 aktiv_icon

01:14 Uhr, 13.11.2016

Bei der

b

habe ich den Integranden wegen der

sinh (\sqrt{x})

mit

\sqrt{x}

nach unten abgeschätzt. Der integrand ist demnach stetig und somit riemann integrierbar. Daraus folgt die Divergenz. Ich hoffe das passt so. Jetzt brauche bitte noch etwas mehr Hilfe zu a?

pwmeyer aktiv_icon

10:51 Uhr, 13.11.2016

Hallo,

Du fragst nach

a)

? Brauchst Du die Info, dass frü

x \neq 0

und

t \neq - 1

gilt

\int x^{t} d x = \frac{1}{t + 1} \cdot x^{t + 1}

um dne HInweis von ledum weiter zu verfolgen?

Gruß pwm

pwmeyer aktiv_icon

10:57 Uhr, 13.11.2016

Bei

b)

kann ich Deinen Text

"Der integrand ist demnach stetig und somit riemann integrierbar. Daraus folgt die Divergenz. " nicht nachvollziehen.

Vielleicht klären wir erst einmal, ob

\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} d x

konvergent oder divergent ist?

Gruß pwm

Nick2344 aktiv_icon

11:17 Uhr, 13.11.2016

b)

Das Integral konvergiert. Da es sich um die Minorante handelt divergiert das ursprüngliche Integral insgesamt.
Zu

c)

Im Fall

α = 1

liegt Divergenz vor. Wenn

α < 1

und

α > 1

weis ich leider nicht wie das sehen kann?

pwmeyer aktiv_icon

11:30 Uhr, 13.11.2016

Hallo,

Du hast das noch nicht verstanden: Wenn eine Minorante konvergiert, folgt nichts. Nur wenn eine Minorante divergiert, folgt Divergenz des eigenglichen Integrals.

Was genau meinst Du mit Minorante: Ist

\frac{1}{\sqrt{x}} \leq \frac{1}{sinh (\sqrt{x})}

oder

\frac{1}{\sqrt{x}} \geq \frac{1}{sinh (\sqrt{x})}

pwmeyer aktiv_icon

11:32 Uhr, 13.11.2016

Warum rechnest Du bei

c)

die benötigten Integrale nicht einfach aus?

Nick2344 aktiv_icon

11:36 Uhr, 13.11.2016

Ich meine

\frac{1}{\sqrt{x}} = < \frac{1}{sinh (\sqrt{x}}

Wie mache ich es dann

: (

pwmeyer aktiv_icon

11:56 Uhr, 13.11.2016

Hast Du eine Begründung für diese Ungleichung?

Nick2344 aktiv_icon

12:02 Uhr, 13.11.2016

\sqrt{x}

ist das erste Glied in der Reihenentwicklung von

sinh (\sqrt{x})

Nick2344 aktiv_icon

19:57 Uhr, 13.11.2016

Wie soll ich

b

jetzt machen?

Wie kann ich bei

c

das Integral ausrechnen für

α

Ungleich 1 ??

pwmeyer aktiv_icon

21:50 Uhr, 13.11.2016

Hallo,

Deine Aussage wg

sinh (\sqrt{x})

ist falsch. Die Bemerkung "

\sqrt{x}

ist das erste Glied in der Reihenentwicklung von

sinh (\sqrt{x}

)" ist keine Begründung

Es gilt:

sinh (\sqrt{x}) \leq \sqrt{x}

Die Berechnung zu

c)

hatte ich Dir schon weiter oben erklärt.

Gruß pwm

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