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Konvergenz und Grenzwert einer Reihe bestimmen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Grenzwerte

Tags: Folgen und Reihen, Grenzwert, Konvergenz, Partialsumme

Mai05 aktiv_icon

14:36 Uhr, 15.01.2021

Hallo,

ich hab die unten zu sehende Reihe gegeben und soll diese auf Konvergenz untersuchen und im Fall von Konvergenz die Summe der Reihe bestimmen.

Um die Reihe auf Konvergenz zu untersuchen, habe ich erstmal

{(- 1)}^{n}

"extra geschrieben", sodass nach dem Summenzeichen steht:

{(- 1)}^{n} \cdot (\frac{1}{(n + 1) \cdot (n + 3)})

(\frac{1}{(n + 1) \cdot (n + 3)})

eine Nullfolge ist, habe ich diese auf Monotonie untersucht und herausgefunden, dass sie monoton fallend ist.
Mit dem Leibniz_Kriterium ist dadurch ja bewiesen, dass die Reihe konvergiert, also muss ich jetzt die Summe berechnen.

Dafür wollte ich den Grenzwert der Partialsummenfolge sj bestimmen.
Dabei bin ich allerdings auf das Problem gestoßen, dass der Grenzwert für gerade

n

"1" und für ungerade

n

"-1" ist.
Heißt das, dass die Reihe nr Häufungspunkte und keinen Grenzwert hat, oder habe ich etwas falsch gemacht?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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HAL9000

14:50 Uhr, 15.01.2021

Es ist

\frac{{(- 1)}^{n}}{(n + 1) (n + 3)} \overset{!}{=} \frac{{(- 1)}^{n}}{2} (\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} + \frac{1}{n + 2} - \frac{1}{n + 3})

\overset{!!}{=} \frac{{(- 1)}^{n}}{2} (\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2}) - \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{2} (\frac{1}{n + 2} - \frac{1}{n + 3})

.

Damit geht es hier um die Teleskopreihe

\sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} - a_{n + 1})

mit

a_{n} := \frac{{(- 1)}^{n}}{2} (\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2})

, deren Reihenwert ist gleich

a_{1} = - \frac{1}{12}

.

Wenn das alles jetzt ein bisschen schnell ging, dann schreib dir die ersten Reihenglieder mal auf, bzw. bilde die ersten Partialsummen mal von Hand, dann siehst du vielleicht den Teleskop-Aha-Effekt. ;-)

P.S.: Ich hab mich an deinen linken Scan gehalten, wo die Reihe bei

n = 1

startet. Soll sie stattdessen (wie in deinen Ausführungen rechts) dann doch schon bei

n = 0

starten, dann ist der Reihenwert natürlich

a_{0} = \frac{1}{4}

Mai05 aktiv_icon

15:10 Uhr, 15.01.2021

Wir haben den Beriff der Teleskopreihen noch nicht behandelt, aber ich hab etwas dazu gelesen und weiß, was generell damit gemeint ist, aber bei der Aufgabe hilft mir das nicht.

Mir ist aber noch unklar, ob ich für die Konvergenz trotzdem das stehenlassen kann was ich aufgeschrieben habe, oder ob man das nicht machen kann, weil es eine Teleskopreihe ist.

Ich hab mir die ersten 6 Glieder mal ausgerechnet und sehe, dass es gegen

- \frac{1}{12}

verläuft, aber wie ich das mathematisch aufschreibe weiß ich nicht.

Auch der erste Schritt ist mir noch nicht ganz klar. Woher weiß ich, dass ich

\frac{{(- 1)}^{n}}{2}

ausklammere und nicht nur

{(- 1)}^{n}

(ich wäre niemals auf die Idee gekommen)

HAL9000

15:19 Uhr, 15.01.2021

> aber bei der Aufgabe hilft mir das nicht.

Teleskopsummen muss man nicht "behandelt haben", das Grundkonzept ist praktisch in ein, zwei Zeilen sofort aus der Definition der Reihenkonvergenz bzw. des Reihenwerts als Grenzwert der Partialsummen schlüssig erkennbar. Aber wenn du nicht willst, dann lass es bleiben und suche eine andere Lösung.

> Auch der erste Schritt ist mir noch nicht ganz klar.

Basis ist die Partialbruchzerlegung von

\frac{1}{(n + 1) (n + 3)}

Mai05 aktiv_icon

15:26 Uhr, 15.01.2021

Gibt es denn eine andere Möglichkeit den Grenzwert einer alternierenden Reihe zu bestimmen?

HAL9000

15:55 Uhr, 15.01.2021

Du kannst dich natürlich hinstellen und sagen: "Ich habe für

s_{m} = \sum_{n = 1}^{m} \frac{{(- 1)}^{n}}{(n + 1) (n + 3)}

die explizite Partialsummenformel

s_{m} = - \frac{1}{12} + \frac{{(- 1)}^{m}}{2 (m + 2) (m + 3)} (*)

durch Auswerten der ersten paar Partialsummen erraten. Jetzt weise ich (*) durch Vollständige Induktion nach, und kann damit dann seriös zum Grenzwert

m \to \infty

übergehen."

Dabei musst du das Teufelswort "Teleskopsumme" nicht in den Mund nehmen, aber untersteh dich dann bloß zu fragen, wie man auf Formel (*) kommt... ;-)

Mai05 aktiv_icon

16:45 Uhr, 15.01.2021

Dankescgön, ich habe noch eine ähnliche Reihe, bei der ich theoretisch auch so rangehen kann, oder?

Falls ja, dann weiß ich wirklich nicht, wie ich auf eine Gleichung kommen soll, die ich mit Induktion beweisen kann

HAL9000

17:27 Uhr, 15.01.2021

Sofern als Hilfsaussage

s := \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} = \frac{π^{2}}{6}

(entspricht Funktionswert

ζ (2)

der Riemannschen Zetafunktion) als bekannt vorausgesetzt werden darf, ist das nicht schwierig:

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{n^{2}} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} - \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1 - {(- 1)}^{n + 1}}{n^{2}} \overset{!}{=} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} - \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{2}{{(2 k)}^{2}} = s - \frac{s}{2} = \frac{s}{2} = \frac{π^{2}}{12}

.

Zur Erklärung von

\overset{!}{=}

: Für ungerade

n

ist

1 - {(- 1)}^{n + 1} = 0

, diese Summanden fallen also in der fraglichen Summe weg. Für gerade

n = 2 k

hat man hingegen

1 - {(- 1)}^{n + 1} = 2

dort stehen.

Den Wert

s

selbst zu beweisen erfordert aber schon gewisse Analysis-Umwege.

Eine geschlossene Darstellung der Partialsumme ist mir hier nicht bekannt.

Mai05 aktiv_icon

17:53 Uhr, 15.01.2021

Ich glaube das bedarf noch ein paar Erklärungen, ich habe nämlich noch nie von der Riemannschen Zetafunktion gehört...

\frac{π^{2}}{12}

ist doch in diesem Fall nur eine andere Darstellung der Reihe, oder?

Kann ich dann daraus schließen, ob die Reihe konvergent ist? Oder meint

\frac{π^{2}}{12}

etwas ganz anderes?

Danke schonmal im Voraus

Gerd30.1 aktiv_icon

18:26 Uhr, 15.01.2021

Ich bekomme wie Wolfram Alpha 1/4 --> Bild

HAL9000

18:39 Uhr, 15.01.2021

@Gerd30.1

Nur wenn die Reihe bei

n = 0

beginnt statt bei

n = 1

. Darauf hatte ich oben schon hingewiesen, aber Mai05 hat sich zu der Frage nicht weiter geäußert.

Mai05 aktiv_icon

19:11 Uhr, 15.01.2021

Das hatte ich gar nicht gesehen :-)
Ist es denn falsch,wenn ich

n = 1

nehme (so steht es ja in dr Aufgabe)

Mai05 aktiv_icon

19:15 Uhr, 15.01.2021

\frac{π^{2}}{12}

ist doch in diesem Fall nur eine andere Darstellung der Reihe, oder?

Kann ich dann daraus schließen, ob die Reihe konvergent ist? Oder meint

\frac{π^{2}}{12}

etwas ganz anderes?"

Kann mir das noch jemand beantworten? :-)

HAL9000

00:41 Uhr, 16.01.2021

> Ist es denn falsch,wenn ich

n = 1

nehme (so steht es ja in dr Aufgabe)

Hatte ich auch so in dem Scan links gelesen. Allerdings hattest du in deinen handschriftlichen Überlegungen rechts daneben die Reihe bei

n = 0

beginnen lassen - kein Wunder, dass Gerd30.1 und ich dann nicht so genau wissen, was du denn nun wirklich willst.

Und was deine dauernden Nachfragen über den Reihenwert betrifft:

\frac{π^{2}}{12}

ist eine REELLE ZAHL - ich hatte wohl unvorsichtigerweise angenommen, dass du in deinem Leben schon mal von der Kreiszahl

π \approx 3.1416

gehört hast...

N8eule

08:53 Uhr, 16.01.2021

"Kann ich dann daraus schließen, ob die Reihe konvergent ist?"

Um es nochmals in deutliche Worte zu fassen:
Nur konvergente Reihen haben einen Grenzwert.
In anderen Worten:
Wenn du einen Grenzwert hast, dann ist damit schon versichert, dass die zugehörige Reihe konvergiert.

Mai05 aktiv_icon

11:00 Uhr, 16.01.2021

Dankeschön

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