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Konvergenz von Reihen mit gebrochenen Polynomen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Grenzwerte

Tags: Folgen und Reihen, Grenzwert

FabianVu aktiv_icon

19:26 Uhr, 25.11.2015

Moin. Ich hätte da wieder eine eine Frage.

Also die Aufgabe ist folgende:

Ist die Reihe konvergent? Begründen sie ihre Aussage. gegeben ist folgende Reihe:

\sum (\frac{n \cdot (n + 1) \cdot (n - 1)}{{(n - 5)}^{5}})

von

n = 6

bis unendlich

Ich bleibe dabei an folgender Stelle hängen:

Das was alles in der Summe steht bezeichnen wir mal als an.

an

= \frac{1 - \frac{1}{n^{2}}}{n^{2} - 25 n + 250 - \frac{1250}{n} + \frac{3125}{n^{2}} - \frac{3125}{n^{3}}}

Kann man an dieser Stelle schon sagen, dass die Reihe konvergiert weil

\sum (\frac{1}{n^{k}})

von 0 bis unendlich für

k \geq 2

konvergiert. (Aus einem Satz aus der Vorlesung)

Und eine zweite Frage? Wenn es richtig sein sollte. Gibt es eine Möglichkeit es sich irgendwie zu vereinfachen, zumal der Fokus denke ich mal nicht aufs Rechnen gelegt sein sollte, also durch Auflösen der Klammer und binomischen Formeln.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
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e-Funktion

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pleindespoir aktiv_icon

19:37 Uhr, 25.11.2015

Das kann man gleich sehen, weil man nur die höchsten Potenzen zu betrachten braucht.
Was hast du denn nur für ein Zeugs gerechnet?

FabianVu aktiv_icon

19:40 Uhr, 25.11.2015

Also würde es ausreichen zu sagen, dass der größste Polynom in Nenner fünften Grades ist und der größte im Zähler dritten Grades ist und dass sich dann die Polynome dritten Grades rauskürzen und dementsprechend dann nur noch das

n^{2}

im Nenner übrigbleibt und dann kann man schlussfolgernd sagen, dass die Reihe konvergiert mithilfe des Satzes?

pleindespoir aktiv_icon

19:52 Uhr, 25.11.2015

für k≥2 konvergiert.

wer hat das erzählt? Das ist zwar nicht falsch, aber auch nicht richtig.

für k>1 konvergiert die Reihe.

Für ein sauberen Beweis würde ich den Term schön zerlegen - aber um himmelswillen keine Doppelbrüche!

3. binom. im Zähler und wenn man meint, dann pascalsches Dreieck für den Nenner

FabianVu aktiv_icon

20:07 Uhr, 25.11.2015

"Für jedes