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Konvergenz/absolute Konvergenz von Reihen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Funktionalanalysis

Grenzwerte

Tags: Folgen und Reihen, Funktionalanalysis, Grenzwert

DerFuchs1337 aktiv_icon

13:14 Uhr, 14.04.2016

Hallo Community,
folgende Reihen soll ich auf Konvergenz und absolute Konvergenz untersuchen:

a) \sum_{k = 1}^{\infty} {(- 1)}^{k} \cdot \frac{k}{1 + k^{2}}

Wenn man die Reihe als 2 Teilfolgen für gerade und ungerade Zahlen betrachtet, dann konvergieren beide gegen Null

\Rightarrow d . h

man kann hier das Nullfolgenkriterium anwenden (?). Jedes Folgeglied der Teilfolgen ist kleiner als der Vorgänger.

D . h

es existiert ein Grenzwert für die Reihe. Da wir sowohl positive als auch negative Folgeglieder aufsummieren, ist die Folge zwar konvergent aber nicht absolut konvergent.

Vermuteter Grenzwert ist

0,

da wir immer positive und negative Folgenglieder addieren und beide Teilfolgen gegen 0 konvergieren. Ist das so richtig ? Wenn ja , wie kann man die Konvergenz beweisen?

b) \sum_{k = 1}^{\infty} {(\frac{k}{2})}^{2}

Hier werden die Folgenglieder immer größer

\Rightarrow

die Reihe divergiert. Wie kann ich das hier zeigen?

c) \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{2}{\sqrt{k!}}

Ist als Folge betrachtet ebenfalls eine Nullfolge

, d . h

es muss in jedem Fall konvergieren. Es konvergiert auch absolut, da alle Folgenglieder strikt positiv sind(korrekt? oder positive und negative Wurzel betrachten?). Ich habe noch keine Vermutung, was genau der Grenzwert von der reihe

c

ist. Jemand eine Idee, und wie man dies zeigen kann?

Lg und dankeschön :-)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
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pwmeyer aktiv_icon

17:21 Uhr, 14.04.2016

Hallo,

Du musst unterscheiden zwischen der Reihe

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

und der Folge

(a_{n})

. Es gilt das Kriterium:

Wenn die Reihe konvergkiert, dann gilt notwendig

a_{n} \to 0,

nicht umgekehrt

(!)

Deshalb kannst Du bei

b)

richtig schließen:

a_{k} = {(\frac{k}{2})}^{2}

konvergiert nicht gegen 0 (ist ja sogar unbeschränkt), also ist die Reihe divergent.

Bei

a)

würde ich mich mal mit dem Leibniz-Kriterium vertraut machen.

Gruß pwm

DerFuchs1337 aktiv_icon

07:29 Uhr, 15.04.2016

Ok dankeschön :-)

Ich habe allgemein noch eine Frage zu Konvergenz von Reihen. Es werden alle Folgeglieder aufsummiert. Ich habe nicht ganz verstanden, warum genau eine Reihe dann konvergieren kann. Denn selbst wenn meine Reihenglieder immer kleiner 1 zB sind, und als Folge bspw. gegen 1 konvergieren würde, ist man beim Aufsummieren der Reihe ja nacher über 1 ? Kann das jemand erklären wieso sich Reihen konvergent verhalten können?

Leibniz Kriterium schaue ich mir heute an, danke :-)
jemand eine Idee zu der

c)

?

Lg

Respon

08:26 Uhr, 15.04.2016

Bei

c)

könntest du das Quotientenkriterium verwenden.

Bummerang

10:11 Uhr, 15.04.2016

Hallo,

"Ich habe allgemein noch eine Frage zu Konvergenz von Reihen. Es werden alle Folgeglieder aufsummiert." - So weit, so richtig!

"Ich habe nicht ganz verstanden, warum genau eine Reihe dann konvergieren kann."

Sie kann konvergieren, weil (ich beschränke mich mal auf eine Reihe mit nur positiven Summanden) immer nur so wenig addiert wird, dass eine Schranke nicht überschritten wird.

"Denn selbst wenn meine Reihenglieder immer kleiner 1 zB sind, und als Folge bspw. gegen 1 konvergieren würde, ist man beim Aufsummieren der Reihe ja nacher über 1 ?"

Da steckt drin, dass die Summanden, die ja eine Folge bilden, gegen 1 konvergieren. Das aber genau ist nicht möglich bei einer konvergenten Reihe! Notwendiges Kriterium für die Konvergenz einer Reihe ist, dass die Folge der Summanden eine Nullfolge ist! Diese notwendige Bedingung wird oft auch Trivialkriterium genannt!

"Kann das jemand erklären wieso sich Reihen konvergent verhalten können?"

Das einfachste Beispiel dafür ist

\sum_{k = 1}^{+ \infty} 2^{- k}

. Aufgeschrieben ergibt das die Summanden

\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \dots

und wenn man beginnt zu summieren, merkt man schnell, dass man nie über die 1 rauskommen kann!

Zu Beginn hat man nur die

\frac{1}{2}

. Zur 1 ergibt sich dabei eine Differenz von ebenfalls

\frac{1}{2}

. Wenn man den nächsten Summanden

\frac{1}{4}

betrachtet, dann bleibt nach der Summation von den

\frac{1}{2}

bis zur 1 nur noch

\frac{1}{4}

übrig. Also wieder genau so viel, wie man gerade addiert hat. Addiert man auch den dritten Summanden

\frac{1}{8},

dann bleibt bis zur 1 als Rest wieder nur

\frac{1}{8}

übrig. Das liegt in diesem Falle daran, dass man immer genauso viel addiert, dass man die Lücke zur 1 halbiert. So ergibt die Partialsumme

\sum_{k = 1}^{n} 2^{- k} = 1 - 2^{- n}

Das kann man induktiv beweisen, wenn Du das als Übung machen willst, dann bitte, ich verzichte hier darauf.

Du siehst, dass keine einzige Partialsumme größer als 1 ist. Dann kann aber auch der Grenzwert der Partialsummen für

n

gegen Unendlich nicht größer als 1 sein, sondern kann minimal 1 werden. Und wenn man bedenkt, dass man mit der Summe

1 - 2^{- n}

beliebig nah an die 1 rankommt und dann niemals wieder weiter weg kommt, dann entspricht doch das genau der Vorstellung von einem Grenzwert, dass ab einem gewissen

n_{0}

für alle

n > n_{0}

gilt, dass alle Folgenglieder, die hier Partialsummen sind, in einer beliebig kleinen epsilon-Umgebung von 1 liegen. Deshalb konvergiert diese Summe gegen 1.

DerFuchs1337 aktiv_icon

16:39 Uhr, 15.04.2016

Ok, ich habe die Regeln nun alle angewandt und ich glaube es sieht ganz gut mit meinen Lösungen aus :-)

Eine Frage noch: Ist es korrekt, dass bei

a)

normale Konvergenz vorliegt, und bei

c)

absolute, da hier alle Folgenglieder strikt positiv sind? Ich muss das noch begründen für die Aufgabe und wollte kurz sichergehen dass ich den Unterschied zwischen Konvergenz und absoluter Konvergenz richtig aufgefasst habe.

Lg

Respon

16:51 Uhr, 15.04.2016

Es sollte noch begründet werden, dass bei

a)

"normale" Konvergenz, aber keine absolute vorliegt.

DerFuchs1337 aktiv_icon

16:55 Uhr, 15.04.2016

Ich weiß nicht wie ich das begründen soll. Die Folgenglieder sind insgesamt nie negativ, da im Worst Case

3 - 2 = 1

.

Dann greift der Begriff der absoluten Konvergenz nicht so wie ich ihn verstanden habe.

Und wie begründe ich dass

c)

absolut konvergent ist?

Respon

17:00 Uhr, 15.04.2016

Man soll zeigen, dass

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{k}{1 + k^{2}}

divergent ist.
Nachdem Quotientenkriterium bzw. Wurzelkriterium nichts bringen, könnte man es mit dem Minorantenkriterium versuchen ( harmonische Reihe ).

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