Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Kurvenschar

Kurvenschar

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Kurvenschar, Nullstellen, Steigung

kleinkati aktiv_icon

19:01 Uhr, 07.06.2010

Hallo!
Ich schreibe morgen eine Matheklausur und habe noch ein paar Fragen zu Kurvenscharen.
Ich würde gerne eine Beispielaufgabe zusammen durchrechnen.
Kurvenschar: fk(x)=x^3 - kx

a)

Für welche

k

hat die Funktion eine oder drei Nullstellen? Kann die Funktion mehr als 3 Nullstellen haben?

b)

Zeigen Sie, dass der Wendepunkt unabhängig von

k

immer im Ursprung liegt!

c)

Zeigen Sie, dass im Falle

k > 0

die Gerade, die die Extremwerte eines Graphen miteinander verbindet, unabhängig von

k

immer eine Ursprungsgrade ist!

d)

Für welches

k

geht der Graph durch den Punkt

P (\frac{2}{12})

e)

Für welches

k

hat der Graph bei

x = \pm 3

Nullstellen?

f)

Für welches

k

hat der Graph bei

x = 1

die Steigung

m = - 1

?

Meine Lösungsansätze:

a)

Die Funktion kann nicht mehr als drei Nullstellen haben, da sie nur ein Polynom 3. Grades enthält.
Um die ks herauszufinden, muss ich die Funktion

= 0

setzen:

0 =

x^3-kx

\Leftrightarrow 0 = x (x^{2} - k)

\Leftrightarrow x = 0 v

x^{2} - k = 0

X^{2} = k

\Leftrightarrow x = \sqrt{k} v

x = - \sqrt{k}

Die Wurzel aus negativen Zahlen kann nicht gezogen werden, deshalb ist die Nullstelle

= 0

.
Aber jetzt weiß ich doch trotzdem noch nicht, für welche

k

die Funktion 1 bzw. 3 Nullstellen hat.

b)

Wendepunkt notwendige Bedingung: fk‘‘(x)=0
fk‘‘(x)=6x

\Rightarrow

das enthält kein

k

mehr, deshalb ist der Wendepunkt nicht abhängig von

k

.
Aber da gibt es bestimmt noch eine rechnerische Lösung.

c)

Der Graph ist Punktsymmetrisch zum Ursprung, also ist die Grade, die die Extrempunkte verbindet auch immer eine Ursprungsgrade. Aber auch da fehlt mir die rechnerische Begründung.

d) 12 = 2^{3} - 2 k

\Leftrightarrow 4 = - 2 k

\Leftrightarrow - 2 = k

e)

Da fehlt für mich irgendwie ein Wort in der Aufgabenstellung. Müsste es nicht „keine“ oder „zwei“ Nullstellen heißen? Ich weiß gar nicht, was ich machen soll bei der Aufgabe.

f)

Fk‘(x)=3x^2-k

\Leftrightarrow - 1 = 3 \cdot 1^{2} - k

\Leftrightarrow - 2 = k

Ich bin dankbar über jede Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktionenschar (Mathematischer Grundbegriff)
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Allgemeine Sinusfunktion
Nullstellen
Nullstellen bestimmen
Polynomdivision

Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Allgemeine Sinusfunktion
Nullstellen
Nullstellen bestimmen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades durch?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades durch?

Nullstellen einer Potenzfunktion bestimmen

Wie bestimmt man die Nullstellen einer Potenzfunktion?

Nullstellen einer Potenzfunktion bestimmen

Wie bestimmt man die Nullstellen einer Potenzfunktion wenn der Exponent

n = 2

oder

n = - 2

ist?

Nullstellen einer allg. Sinusfunktion bestimmen

Wie bestimmt man die Nullstellen einer allgemeinen Sinusfunktion?

Wie bestimmt man die Schnittpunkte einer allgemeinen Sinusfunktion mit der x-Achse?

Nullstellen von Polynomfunktionen

Wie bestimmt man die Nullstellen von Polynomfunktionen?

Steigung einer Geraden mit zwei gegeben Punkten

Wie bestimmt man die Steigung einer Geraden durch zwei gegebene Punkte?

Wie löst man eine quadratische Gleichung?

Wie löst man eine quadratische Gleichung?

Wie bestimmt man die Nullstellen einer quadratischen Funktion?
Wo schneidet eine Parabel die x-Achse?

Shipwater aktiv_icon

19:13 Uhr, 07.06.2010

a)

Es stimmt, dass die Funktion nicht mehr als 3 Nullstellen haben kann, da es sich um eine Poylnomfunktion 3.Grades handelt. (Eine Polynomfunktion n-ten Grades hat höchstes

n

Nullstellen)
Die Nullstellen hast du mit

x_{1} = 0

und

x_{2} = \sqrt{k}

und

x_{3} = - \sqrt{k}

auch richtig angegeben. Desweiteren hast du ja selbst gesagt, dass

x_{2}

und

x_{3}

für negative

k

wegfallen, da man im Reellen keine Wurzel aus negativen Zahlen ziehen kann. Und für

k = 0

fallen alle Nullstellen zusammen, also gibt es für

k \leq 0

genau eine Nullstelle. Für den Rest also für alle

k > 0

gibt es demenstprechend drei Nullstellen.

b)

Du bist auf einem guten Weg aus

f'' (x) = 6 x = 0 \Leftrightarrow x = 0

und

f''' (x) = 6 \neq 0

folgt, dass es immer eine Wendestelle bei

x = 0

gibt. Da zusätzlich noch unabhängig von

k

gilt

f (0) = 0

haben wir also immer einen Wendepunkt im Ursprung.

c)

Hier solltest du vielleicht mal zuerst die Extrempunkte bestimmen.

d)

ist richtig.

e)

Der Graph hat neben

x_{1} = 0

noch die Nullstellen

x_{2} = \sqrt{k}

und

x_{3} = - \sqrt{k}

Was musst du denn nun für

k

einsetzen, damit da

\pm 3

entsteht ;-)

f)

Berechne erstmal

f' (1)

kleinkati aktiv_icon

19:45 Uhr, 07.06.2010

Danke! Hat mir schonmal sehr geholfen

〈

Hier die überarbeiteten Lösungen:

c)

Die Extrempunkte zu berechnen, ist gar nicht so einfach. :-D)
Ich komme da nach notweniger und hinreichender Bedingung auf

P 1 (\sqrt{\frac{k}{3}} | \sqrt{\frac{k}{3}} (\frac{k}{3} - k))

und

P 2 (- \sqrt{\frac{k}{3}} | - \sqrt{\frac{k}{3}} (\frac{k}{3} - k))

.
Dann ist

m

nach einem riesen Bruch noch

(\frac{k}{3}) - k

und

b = 0

. Soweit richtig?

e)

Okay, wenn man weiß, was von einem gewollt wird :-D)

k = 9

f)

f´(1)=3*1^2 –k

- 1 = 3 - k

\Leftrightarrow k = 4

Ist da jetzt etwas brauchbares bei herausgekommen? ;-)

Shipwater aktiv_icon

20:02 Uhr, 07.06.2010

Ich muss das jetzt auch erstmal nachrechnen.

c) f_{k} (x) = x^{3} - k x

f_{k}' (x) = 3 x^{2} - k = 0 \Leftrightarrow 3 x^{2} = k \Leftrightarrow x^{2} = \frac{k}{3} \Leftrightarrow x_{1,2} = \pm \sqrt{(\frac{k}{3})}

(Hinreichende Bedingung spar ich mir)

f_{k} (\sqrt{(\frac{k}{3})}) = \frac{k}{3} \sqrt{(\frac{k}{3})} - k \sqrt{(\frac{k}{3})} = - \frac{2}{3} k \sqrt{(\frac{k}{3})} \Rightarrow P_{1} (\sqrt{(\frac{k}{3})} | - \frac{2}{3} k \sqrt{(\frac{k}{3})})

Aus Symmetriegründen folgt ohne weiteres

P_{2} (- \sqrt{(\frac{k}{3})} | \frac{2}{3} k \sqrt{(\frac{k}{3})})

Die Geradengleichung ist dann über die Zweipunkteform:

\frac{y + \frac{2}{3} k \sqrt{(\frac{k}{3})}}{x - \sqrt{(\frac{k}{3})}} = \frac{\frac{2}{3} k \sqrt{(\frac{k}{3})} + \frac{2}{3} k \sqrt{(\frac{k}{3})}}{- \sqrt{(\frac{k}{3})} - \sqrt{(\frac{k}{3})}} = - \frac{2}{3} k

\Rightarrow y = - \frac{2}{3} k x + \frac{2}{3} k \sqrt{(\frac{k}{3})} - \frac{2}{3} k \sqrt{(\frac{k}{3})} = - \frac{2}{3} k x \to

Kein Absolutglied

\to

Ursprungsgerade

d)

und

e)

sollten stimmen.

kleinkati aktiv_icon

20:09 Uhr, 07.06.2010

Okay, dann habe ich mich wohl irgendwo verrechnet, ist ja auch ein komplizierter Term.
Vielen Dank für deine Mühe, den Lösungsweg habe ich soweit verstanden. Dann dürfte der 1 morgen nichts mehr im Wege stehen. :-D) Nein, eher nicht.
Ich wünsche noch einen schönen Abend!

Shipwater aktiv_icon

20:17 Uhr, 07.06.2010

Nein, du hattest dich nicht verrechnet es war alles richtig. Du hast ja geschrieben

m = \frac{k}{3} - k

und wenn man das zusammenfasst erhält man ja

m = - \frac{2}{3} k

so wie ich es auch habe.

Gruß Shipwater

769606

769549

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?