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L'Hospital und Beweisführung

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Beweisführung, Grenzwert, l'Hôspital

LeaDadada aktiv_icon

22:14 Uhr, 24.05.2017

Hallo an alle :-)
Ich studiere seit diesem Semester Informatik und bin mathematisch noch ziemlich unerfahren. Ich weiß nicht genau, wie man beweist und so weiter. Ich habe immer wieder gehört, dass es sehr wichtig sei, darauf zu achten, sich innerhalb der bereits bekannten Regeln, Lemmas und Sätze zu bewegen. Selbst wenn also etwas ziemlich offensichtlich scheint, ist das unbedingt zu belegen, indem man diese anwendet. Ich kann im Moment nicht wirklich einschätzen, wie stark ich mich daran halten muss, wann

a \to b

wirklich offensichtlich ist und wann ich

a \to b

noch belegen muss. Ich sitze grade an einer Aufgabe im Zusammenhang mit dem Satz von L'Hospital und vielleicht wäre es das beste, einfach mal meinen Beweisansatz hier anzuhängen. Es geht quasi darum, herauszufinden, welche Funktion größer ist, wenn

n

gegen Unendlich geht. Ich weiß, man könnte auch einfach schreiben:
zz.:

h (n) < g (n)

\Rightarrow 42^{n} < n^{n}

\Rightarrow 42 < n

Gilt für alle

n > 42

Aber hier geht es eben explizit um die Anwendung des Satzes von L'Hospital. Hat da jemand Verbesserungsvorschläge für meine Herangehensweise im Anhang? Bin ich zu genau?
Ich würde mich auch über Tipps zur Beweisführung oder zum Studium sehr freuen :-)

Liebe Grüße
Lea

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ableitung an einer Stelle

Wie bestimmt man die Ableitung

f' (x)

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f (x)

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Wie bestimmt man den Grenzwert einer Funktion?

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Wie bestimmt man einen Grenzwert mit der Regel von l'Hospital?

Wie bestimmt man einen Grenzwert, bei dem

\frac{0}{0}

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Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades durch?

Roman-22

00:10 Uhr, 25.05.2017

Die Ableitung von

n^{n}

nach

n

ist NICHT

n \cdot n^{n - 1}!

Es handelt sich nicht um eine Potenzfunktion.

\frac{d}{d x} x^{x} = x^{x} \cdot (ln x + 1)

Entweder mit logarithmischen Differenzieren, oder du schreibst

x^{x} = e^{x \cdot ln (x)}

und differenzierst das.

tobit aktiv_icon

02:57 Uhr, 25.05.2017

Hallo LeaDadada!

Ergänzend zu Romans Antwort:

1. Mir ist die Aufgabenstellung nicht klar.
Was ist mit "Welche Funktion ist größer im Unendlichen?" genau gemeint?
Wann heißt eine Funktion

h

"größer im Unendlichen" als eine andere Funktion

g

?

2. Du schreibst am Ende "

lim_{n \to \infty} g (n) < lim_{n \to \infty} h (n)

".
Was meinst du damit?
Für mich ist

lim_{n \to \infty} g (n) = + \infty

und

lim_{n \to \infty} h (n) = + \infty

(d.h. die beiden Folgen divergieren jeweils bestimmt gegen

+ \infty

), so dass ich die Ungleichung

+ \infty < + \infty

da stehen sehe, die mir nicht sonderlich sinnvoll erscheint.

3. Die Aussage

lim_{n \to \infty} \frac{g (n)}{h (n)} = 0

trifft zu, auch wenn sie noch nicht von dir bewiesen wurde.

4. Du gibst den Satz von L'Hospital sehr verkürzt wieder. Unter welchen Voraussetzungen gilt diese Gleichheit? Sind diese Voraussetzungen hier erfüllt?

5. Zu deiner generellen Unsicherheit, was wie detailliert begründet werden muss: Du liegst schon richtig damit, dass man in der Regel nicht Alles bis ins letzte Detail begründet. Idealerweise wäre man dazu auf Nachfrage in der Lage. Es gibt keine objektive allgemeine Regel, wie detailliert man vorgehen muss. Wer selbst mathematisch schon hinreichend sicher unterwegs ist (z.B. Professor(inn)en), wird den Detailgrad seiner Darstellung in der Regel an der angesprochenen Zielgruppe orientieren: In Texten für Studienanfänger wird die Darstellung detaillierter sein als in solchen für Professorenkolleg(inn)en. Etwas anders sieht es für Leute im Lernstadium aus: Hier sollen sie dem Korrigierenden demonstrieren, dass sie das Problem hinreichend detailliert lösen können. Von Studienanfängern erwartet man dazu in der Regel detailliertere Lösungen als von fortgeschritteneren Student(inn)en. Im Zweifelsfall würde ich einfach den/die Korrigierende(n) fragen, ob er/sie eine detailliertere Begründung erwartet.

Viele Grüße
Tobias

LeaDadada aktiv_icon

05:08 Uhr, 25.05.2017

Hey Tobias,
ich komm mir jetzt irgendwie blöd vor :-D)
Ich war voll stolz auf meine Herleitung und dann ist doch wieder irgendwas falsch. Meh.

So, ich arbeite mal deine Punkte ab

1. Gemeint ist, wenn wir beide Funktionen gegen Unendlich gehen lassen, welche ist größer.

2. Da der Limes ja aber nicht ZU Unendlich geht und dann da ist, sondern nur immer weiter GEGEN Unendlich geht, ist er zu jedem Zeitpunkt noch eine Zahl, egal wie lange wir das Spiel weitertreiben. Deswegen repräsentiert das ∞-Zeichen nach meinem Verständnis eher eine Zahl, die so viel größer ist als alles andere, dass dieses andere vernachlässigbar wird. Und trotzdem ist das noch eine Zahl, was bedeutet, dass 2*∞

>

∞
Das Thema ist wahnsinnig schwer in Worte zu fassen aber ich hoffe, du weißt was ich meine. Das eine Unendlich ist eben noch unendlicher. Macht zwar keinen wirklichen Sinn, aber Unendlich ist eh nicht rational zu begreifen.

3. Meinst du wegen des Fehlers mit

n^{n}

oder generell? Ich wüsste nicht, was ich da noch großartig beweisen soll. 42/∞ ist halt

0,

ich hatte gehofft dass das so offensichtlich ist wie

1 + 1 = 2

(wurde vom Prof ja bisher auch noch nicht bewiesen und trotzdem darf ichs benutzen)

4. Wahrscheinlich hatten wir den Satz von L'Hospital nicht in seiner ganzen Fülle. Ich weiß nur, dass limn→∞g(n)/h(n) = limn→∞g'(n)/h'(n). Das mag zwar nicht vollkommen korrekt sein, aber für unsere Zwecke reicht das vermutlich.

5. Danke erstmal :-) Ich bin ja derzeit noch etwas stinkig, dass ich ziemlich ins kalte Wasser geworfen wurde und mir keiner sagt, wie ich vorzugehen habe. Außerdem setzt unser Prof nicht selten einfach irgendwas voraus, was die zwar Mathematiker lernen. Nur besteht die Hälfte des Hörsaals aus Info-Studenten...

Wenn noch irgendwas unklar geblieben ist oder ich einen Denkfehler habe, gerne sagen :-)

tobit aktiv_icon

07:41 Uhr, 25.05.2017

Fehlerhafte Lösungen sind bei Studienanfängern eher die Regel als die Ausnahme.
Also kein Grund, dass du dir blöd vorkommen müsstest... ;-)

Zu 1.:

Es bleibt für mich leider unklar, was genau gemeint ist. Wann soll eine Funktion h "größer" einer Funktion g heißen, "wenn wir beide Funktionen gegen Unendlich gehen lassen"?

Zu 2.:

a) Für mich setzt die Behauptung

2 \cdot \infty > \infty

voraus, dass wir vorher vereinbart haben, was wir mit

2 \cdot \infty

meinen und was

>

hier bedeuten soll.

b) Ich kenne keine reelle Zahl namens

\infty

.

c) "Macht zwar keinen wirklichen Sinn, aber Unendlich ist eh nicht rational zu begreifen."
Die Aussage

lim_{n \to \infty} g (n) = + \infty

hat eine exakt definierte Bedeutung (nämlich: Für jedes

K \in ℝ

existiert ein

N \in ℕ

mit

g (n) \geq K

für alle

n \geq N

).
Insofern kann man schon ganz rational mit der Aussage

lim_{n \to \infty} g (n) = + \infty

umgehen.
Irrational wird es erst, wenn man mit undefinierten Ausdrücken und Aussagen umgeht oder unbegründet Aussagen als wahr annimmt.

Zu 3.:

a) " Meinst du wegen des Fehlers mit

n^{n}

oder generell? "
In erster Linie deswegen, ja. (Und wegen Punkt 4., auf den ich gleich eingehe.)

b) " Ich wüsste nicht, was ich da noch großartig beweisen soll. 42/∞ ist halt 0, ich hatte gehofft dass das so offensichtlich ist wie 1+1=2 (wurde vom Prof ja bisher auch noch nicht bewiesen und trotzdem darf ichs benutzen) "
b i) Hm, jetzt benutzt du schon wieder einen Ausdruck (nämlich

42 / \infty

), den du erst definieren müsstest.
Meinetwegen kannst du

\frac{42}{\infty} := 0

vereinbaren.
Aber das begründet nicht die Aussage

lim_{n \to \infty} \frac{4 2^{n}}{n^{n}} = 0

(die ja besagt: Für jedes

ɛ > 0

existiert ein

N \in ℕ

mit

∣ \frac{4 2^{n}}{n^{n}} - 0 ∣ < ɛ

für alle

n \geq N

).
b ii) 1+1=2 darfst du in der Tat in der Regel ohne Beweis benutzen. Als grobe Faustregel: Die aus der Schule bekannten Rechenregeln für reelle Zahlen darfst du im Normalfall ohne Beweis benutzen.

Zu 4.:

Es mag für eure Zwecke ausreichen, manche Voraussetzungen des Satzes von L'Hospital stillschweigend anzunehmen, aber nicht alle.
Betrachte mal

g (n) = 2 + \frac{1}{n}

und

h (n) = 1 + \frac{1}{n}

.
Dann kann man sich mit den Grenzwert-Regeln

lim_{n \to \infty} \frac{g (n)}{h (n)} = 2

überlegen, jedoch gilt

lim_{n \to \infty} \frac{g^{ʹ} (n)}{h^{ʹ} (n)} = lim_{n \to \infty} \frac{- \frac{1}{n^{2}}}{- \frac{1}{n^{2}}} = 1

!
Die wichtigste Voraussetzung des Satzes von L'Hospital lautet: Zähler und Nenner müssen beide gegen 0 konvergieren oder beide bestimmt gegen

+ \infty

bzw.

- \infty

divergieren.
Ohne diese Voraussetzung gilt er im Allgemeinen nicht, wie das gerade vorgeführte Beispiel zeigt!

Zu 5.:

Wenn etwas vorausgesetzt wird, was man noch nicht gelernt hat, ist dies in der Tat doof.
Dann bleibt einem wohl nichts anderes übrig als nachzufragen oder nachzulesen.
Um was für eine Lehrveranstaltung handelt es sich denn?

LeaDadada aktiv_icon

16:10 Uhr, 25.05.2017

1. Vielleicht ist größer in diesem Kontext nicht das richtige Wort. Es geht darum, dass für alle

n > n_{0} \in ℝ

gilt, dass

g (n) < h (n) \lor g (n) > h (n)

. Also dass sie sich nach

n_{0}

nicht mehr schneiden. Ich will rausfinden, welche der beiden Optionen der Fall ist. Ich setze also ein

n > n_{0}

ein und schau, welcher Funktionswert größer ist. Weil

n_{0}

nicht spezifiziert ist, bleibt mir nichts anderes übrig, als

n

gegen Unendlich gehen zu lassen, weil es nur dann zwingen größer als

n_{0}

ist. Ich hoffe, ich habe es jetzt gut genug erklärt :-D)

2.

a)

Da kenne ich mich nicht gut genug aus, für mich klang das irgendwie logisch

b) \infty

ist natürlich keine reele Zahl, aber ich hoffe, was ich gemacht habe, macht irgendwie Sinn, auch wenn es formal nicht richtig ist.

c)

Siehst du, genau das meine ich. Ich habe nur in der Schule (auf Schulniveau!) ein paar Stunden den Limes gemacht und dann nie wieder. Und jetzt erwartet man von mir, dass ich den richtig anwenden kann.

3. Auch hier wieder kann ich einfach nicht so formal vorgehen, weil ich die genauen Definitionen nie gelernt habe. Oder würde der Professor wirklich erwarten, dass ich sowas weiß? Abgesehen davon hast du natürlich Recht

4.

lim_{n \to \infty} (\frac{42^{n}}{n^{n}}) = \frac{lim_{n \to \infty} (42^{n})}{lim_{n \to \infty} (n^{n})} = \frac{\infty}{\infty}

Das müsste doch eigentlich so stimmen oder? Also darf ich den Satz von L'Hospital hier anwenden. Bei der Ableitung würde es (mit Fehler) dann so aussehen:

lim_{n \to \infty} (\frac{n \cdot 42^{n - 1}}{n \cdot n^{n - 1}}) = \frac{lim_{n \to \infty} (n \cdot 42^{n - 1})}{lim_{n \to \infty} (n \cdot n^{n - 1})} = \frac{\infty}{\infty}

Und so weiter. Also müsste es doch eigentlich gehen oder?

5. Diskrete Strukturen (Vorlesung)

Danke für deine Mühe. Ich find irgendwie beeindruckend, dass sich extra jemand hinsetzt und meine Fragen beantwortet :-)

Liebe Grüße
Lea

tobit aktiv_icon

20:26 Uhr, 25.05.2017

Zu 1.:

Okay, wenn ich dich richtig verstehe, meinst du:
Eine Funktion

h

möchtest du größer einer Funktion

g

im Unendlichen nennen, wenn ein

n_{0} \in ℕ

existiert mit

h (n) > g (n)

für alle

n \geq n_{0}

.
Alles klar, das ergibt für mich Sinn! :-)
Insbesondere ist dann

lim_{n \to \infty} \frac{g (n)}{h (n)} = 0

im Falle h(n)>0 für alle n hinreichend (aber nicht notwendig) für

h

größer als

g

im Unendlichen.

Übrigens:
Gegeben zwei beliebige verschiedene Funktionen

h

und

g

muss keine der beiden größer der anderen im Unendlichen sein.
Aber es ist höchstens eine der beiden größer der anderen im Unendlichen.

Zu 2. c), 3. und 5.:

Das finde ich in der Tat ungünstig.
Ich war die ganze Zeit davon ausgegangen, dass es um eine Analysis-Vorlesung ginge, in der diese Themen behandelt wurden.
Ohne theoretischen Background finde ich es z.B. schwierig

lim_{n \to \infty} \frac{4 2^{n}}{n^{n}} = 0

zu zeigen.
Fängt euer Informatik-Studium nicht u.a. mit Mathe-Vorlesungen zu Analysis und Linearer Algebra an? Ist die Vorlesung Diskrete Strukturen für das erste Semester vorgesehen?

Vielleicht ist es möglich, dem/der Dozenten/in z.B. über die Übungsleiter(innen) das Feedback zu geben, dass der theoretische Background für die Vorlesung fehlt.
Wenn ihr Pech habt, ist dem/der Dozenten/in das egal, aber vielleicht ist er/sie ja auch dankbar für eine solche Rückmeldung und gerne bereit seine Vorlesung anzupassen?

Zu 4.:

Formal sind Brüche wie

\frac{\infty}{\infty}

sicherlich undefiniert, aber ich erkenne, was du meinst.

Bei

lim_{n \to \infty} \frac{n \cdot 4 2^{n - 1}}{n \cdot n^{n - 1}}

würde ich den Faktor

n

kürzen... ;-)

Du hast (möglicherweise durch den von Roman angesprochenen Fehler beim Ableiten) nichts gewonnen, weil die Limes-Bestimmung des neuen Quotienten nicht einfacher ist als die des ursprünglichen Quotienten.

Ob L'Hospital hier anwendbar ist und weiterhilft, habe ich noch nicht nachgerechnet.
Wenn du dies wünschst, bin ich bereit dies zu tun.

Es gibt keine Garantie, dass für konvergente Quotienten, deren Zähler und Nenner gegen

\infty

streben, auch der Quotient der Ableitungen von Zähler und Nenner konvergiert und somit L'Hospital anwendbar ist.
Und wenn L'Hospital anwendbar ist, heißt dies noch nicht automatisch, dass diese Anwendung auch bei dem Nachweis der Konvergenz des ursprünglichen Quotienten hilft (weil eben der Nachweis der Konvergenz des Quotienten der Ableitungen nicht immer einfacher als der Nachweis der Konvergenz des ursprünglichen Quotienten sein muss).

LeaDadada aktiv_icon

22:47 Uhr, 25.05.2017

1. Meinst du zb.

g (n) = sin (n)

und

h (n) = cos (n)

?

2. Ja, Diskrete Strukturen ist tatsächlich eine der ersten Vorlesungen (bildet mit Logik und Modellierung ein Modul) Was den Professor angeht, habe ich bisher den Eindruck, dass er vielleicht nicht so gut einschätzen kann, wie umfangreich unser Vorwissen ist. Immerhin hat er gesagt, dass er sich Feedback wünscht, aber gleichzeitig wirkt er ein wenig unnahbar. Ich versuch mal mit ihm darüber zu reden :-)
Ich bin zumindest nicht die einzige, die sich damit schwer tut.

3. Mein Ansatz war, eine Formel für die Ableitung von

g

und

h

beliebigen Grades zu finden. Dann nämlich könnten wir die Ableitung des

n - 1

-ten Grades benutzen. Dann kommt folgendes bei raus:

\frac{n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot (n - 3) \cdot \cdot \cdot (n - (n - 1)) \cdot 42}{n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot (n - 3) \cdot \cdot \cdot (n - (n - 1)) \cdot n}

Also Produkt geschrieben:

\frac{(\prod_{0 \to (n - 1)}^{i} (n - i)) \cdot 42}{(\prod_{0 \to (n - 1)}^{i} (n - i)) \cdot n}

Die beiden Produkte können wir rauskürzen und wir haben die

\frac{42}{n}

lim_{n \to \infty} (\frac{g (x)}{h (x)}) = lim_{n \to \infty} (\frac{g^{n - 1} (x)}{h^{n - 1} (x)}) = lim_{n \to \infty} (\frac{42}{n})

Das Hochgestellte

n - 1

ist der Grad der Ableitung. Ich hoffe, das war verständlich.
Ich wüsste gern, ob meine Herangehensweise prinzipiell funktioniert :-D)

Liebe Grüße
Lea

tobit aktiv_icon

23:34 Uhr, 25.05.2017

Zu 1.:

Ja, das wäre ein Beispiel für Funktionen

g

und

h

, von denen keine der beiden größer der anderen im Unendlichen gemäß deiner Definition ist.

Zu 3.:

Ich sehe gerade erst (sorry, da habe ich vorher nicht aufgepasst), dass auch deine Ableitung von

g

völlig falsch ist.
Die Funktion

g (n) = 4 2^{n}

ist keine Potenzfunktion und hat nicht die Ableitung

n \cdot 4 2^{n - 1}

.
Vielmehr ist

g

eine Exponentialfunktion mit Ableitung

g ʹ (n) = l n (42) \cdot 4 2^{n}

.

Eine "sinnvolle" Regel der Art, dass unter gewissen Umständen

lim_{n \to \infty} \frac{g (n)}{h (n)} = lim_{n \to \infty} \frac{g^{(n)} (n)}{h^{(n)} (n)}

gelten würde, ist mir nicht bekannt.
Dein Ansatz ist damit wohl leider zum Scheitern verurteilt.

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