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Lim inf und lim sup einer konvergenten Folge

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: divergenz, Folgen und Reihen, Grenzwert, Konvergenz, lim, Limes Inferior, Limes Superior

Anakin92 aktiv_icon

12:33 Uhr, 03.12.2014

Hallo!

Ich soll liminf und limsup der Folge an mit
an

= {(- 1)}^{n} \cdot

(Wurzel(n²+5n)

- n)

berechnen.

Die Folge konvergiert ja gegen

\frac{5}{2}

.
Und es heißt, bei einer konvergenten Folge konvergieren auch alle Teilfolgen gegen denselben Grenzwert.

Ist es dann richtig anzunehmen, dass liminf = limsup

= lim = \frac{5}{2}

?

lg
Anakin

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
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DrBoogie aktiv_icon

12:35 Uhr, 03.12.2014

"Die Folge konvergiert ja gegen

5 / 2

."

Keineswegs. Sie hat für ungerade

n

negative Terme.

Anakin92 aktiv_icon

12:43 Uhr, 03.12.2014

Achso, Okay, also konvergiert sie gegen Null?

DrBoogie aktiv_icon

12:45 Uhr, 03.12.2014

Sie konvergiert überhaupt nicht. Sie hat aber zwei konvergente Teilfolgen: für gerade und füe ungerade

n

Anakin92 aktiv_icon

12:59 Uhr, 03.12.2014

D . h .,

ich muss jeweils den Grenzwert der Teilfolge aller geraden

n

und den Grenzwert der Teilfolge aller ungeraden

n

berechnen:

aber wie genau sehen diese Teilfolgen aus?

für gerade

n

wäre die Teilfolge

a 2 k =

Wurzel((2k)^2

+ 10 k) - 2 k

und
für ungerade

n

wäre die Teilfolge

a 2 k - 1 = -

Wurzel((2k)^2

+ 10 k) - 2 k

?
ist das Richtig so? Ich verstehe nicht ganz, wie genau ich diese Teilfolgen bilden muss.

ledum aktiv_icon

13:15 Uhr, 03.12.2014

Hallo
schreib deine Formeln bitte lesbarer, lies nach: www.onlinemathe.de/download/onlinemathe_mathematische_zeichen.pdf
und wenn du noch die Klammern richtig setz und

2 k - 1

in der 2 ten Formel einsetzt statt

2 k

hast du die 2 Teilfolgen.
einfacher ist einfach zu schreiben

n

gerade

a_{n} = + . .

n

Ungerade

a_{n} = -

kannst du denn

lim

inf und limsup von

{(- 1)}^{n}

bestimmen?
Gruß ledum

DrBoogie aktiv_icon

13:45 Uhr, 03.12.2014

"aber wie genau sehen diese Teilfolgen aus?"

Das mit

n = 2 k

und

n = 2 k + 1

brauchst Du nicht zu schreiben.
Das

| a_n | = \ s q r t {n^2 + 5 n} - n \ t o \ f r a c {5} {2}

und

a_n = | a_n |

für gerade

n

und

a_n = - | a_n |

für ungerade

n

, hast Du sofort, dass die "gerade" Teilfolge gegen

\ f r a c {5} {2}

geht und die "ungerade" gegen

- \ f r a c {5} {2}

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