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Linearkombinationen konvergenter Folgen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Grenzwerte

Tags: Folgen und Reihen, Grenzwert, Konvergenz, Norm

Benni444444 aktiv_icon

17:25 Uhr, 17.03.2025

Hallo, zu zeigen wäre folgendes:
Sind (an) und (bn) zwei konvergente Folgen in einem normierten Vektorraum, so ist auch jede
Linearkombination

(h

+

µ bn) konvergent, und es gilt

lim (h

+

µ bn)

= h (lim

an)

+

µ(lim bn). Wobei

a = lim

an und

b = lim

bn

Folgendes habe ich bereits versucht:

| | (h

+

µ bn)

- (h a +

b) | | =

||h(an

- a) -

µ(bn

- b) | | = < | h |

||an

- a | | +

|µ| ||bn

- b | |

Ich weiß aber leider nicht wie ich den Beweis fortführen soll bzw. ob das so weit überhaupt Sinn macht.

Freue mich über jeden Ratschlag!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
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pwmeyer aktiv_icon

17:41 Uhr, 17.03.2025

Hallo,

a = lim (a_{n})

ist doch definiert durch

| | a - a_{n} | | \to 0,

analog

b

.

Damit ist die rechte Seite Deiner Abschätzung eine Nullfolge, also folgt

| | (h a_{n} + m b_{n}) - (h a + m b) | | \to 0

Und das ist die Behauptung.

michaL aktiv_icon

18:48 Uhr, 17.03.2025

Hallo,

der Beitrag von pwmeyer trifft es eigentlich vollständig.

Rein technisch ist der Beweis schon irgendwie unangenehm, wenn man ihn so ausführen möchte, wie du es angelegt hast.

Problem ist, dass

h

bzw.

μ

auch Null sein können.
Wenn man das zunächst NICHT zulässt (also

h \cdot μ \neq 0

voraussetzt), so könnte man zu gegebenem

ε > 0

die Werte

ε_{a}

und

ε_{b}

definieren durch

ε_{a} := \frac{1}{∣ h ∣} \cdot \frac{ε}{2}

und

ε_{b} := \frac{1}{∣ μ ∣} \cdot \frac{ε}{2}

.

Dann gibt es zu diesen beiden Werten

n_{a}

bzw.

n_{b}

, sodass für alle

m, n \in ℕ

mit

n \geq n_{a}

und

m > n_{b}

eben gilt:

∣ ∣ a_{n} - a ∣ ∣ < ε_{a}

und

∣ ∣ b_{m} - a ∣ ∣ < ε_{b}

Dann folgt aus der Ungleichung des OP für alle

n > max (n_{a}, n_{b})

\dots < ∣ h ∣ \cdot ∣ ∣ a_{n} - a ∣ ∣ + ∣ μ ∣ \cdot ∣ ∣ b_{n} - b ∣ ∣ < ∣ h ∣ ε_{a} + ∣ μ ∣ ε_{b} = \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε

Das ist es wohl, was der OP gerne hätte, gell?

Ist einer der beiden Faktoren Null (Kann es sein, dass dein

h

eigentlich

λ

sein soll???), etwa

h

, so kann man

ε_{a} := \frac{ε}{2}

wählen.

Und will man das ganze schick in eine einzelne Definition packen, so kann man (am Beispiel von

h = 0

wie folgt arbeiten:

ε_{a} := max (\frac{1}{∣ h ∣}, 1) \cdot \frac{ε}{2}

In dem Falle muss die letzte (Un)Gleichungskette eben fallunterschieden werden.

Mfg Michael

Benni444444 aktiv_icon

15:10 Uhr, 18.03.2025

Vielen Dank für eure Antworten, eine Frage habe ich noch.
Angenommen

h

wäre

0,

fällt dann nicht das Epsilon_a automatisch weck, weil dieses ja mit

| h |

multipliziert wird?

Also ich versteh nicht ganz, wie ich die Fallunterscheidung im diesem Fall machen würde.

Vielen Dank!

calc007

15:54 Uhr, 18.03.2025

Eine Linearkombination

(h \cdot a_{n} +

my*b_n) ist für

(h = 0)

sehr trivial:

my*b_n

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