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Linksseitigen-Rechtsseitigen Limes ohne Taschenr.

Universität / Fachhochschule

Tags: Grenzwert, Links/rechtsseitig, Polstellen der Funktion bestimmen

mathegenie123 aktiv_icon

11:57 Uhr, 27.10.2014

Hallo,

ich möchte eine Kurvendisskusion an einer Gebrochenrationalen-Funktion machen.

Leider bin ich bei einigen Schritten gestolpert, denke ich...

y = \frac{x^{3}}{x^{2} - 4}

Ich soll folgende Dinge bestimmen:

-Definitionsbereich für

x

-Schnittpunkte mit Koordinatenachsen
-vorliegende Lücken , Pole und Asymptoten

Meine bisherigen Überlegungen:

Definitionsbereich bestimmen:
Bei Gebrochenrationalen Funktionen darf der Nenner nicht Null werden.
Also setze ich den nenner Null und rechne aus für welche

x

der Nenner gleich Null wird.

\to x^{2} - 4 = 0

\to x_{1,2} = \pm 2

\to

D=R\

{

-2,2}

Schnittpunkt mit den Koordinatenachsen:

y-Achsenschnittpunkt:
Bedingung:

y (0),

also für

x

die Zahl Null einsetzen.

\to \frac{0^{3}}{0^{2} - 4} = 0

\to S_{y} (0 | 0)

x-Achsenschnittpunkt(sog. Nullstellen):
Bedingung:

y = 0,

also die funktion muss gleich Null gesetzt werden um dann nach

x

aufzulösen.
Bei Gebrochenrationalen-Funktionen kommt noch die Bedingung dazu, dass die Funktion nur dann Null wird, wenn der Zähler gleich Null ist und der Nenner ungleich Null.

\to x^{3} = 0

\to x = 0

\to

Da für

x = 0

der Nenner ungleich Null ist, handelt es sich bei der Stelle

x = 0

tatsächlich um eine Nullstelle der Funktion

y = \frac{x^{3}}{x^{2} - 4}

\to S_{x} (0 | 0)

Definitionslücken:
An den Stellen

x = - 2

und

x = 2

handelt es sich um Definitionslücken. Da diese Lücken nicht behebbar sind(nicht auch Nullstellen des Zählers sind), handelt es sich nicht um hebbare-Definitionslücken , sondern um Polstellen.

Polstellen:

x = - 2

x = 2

Meine frage an dieser Stelle an euch: Wie bekomme ich heraus, ob hier ein Vorzeichenwechsel (VZW) vorhanden ist oder nicht? Ich weiß, dass man das auf zweierlei wege herausfinden kann. Entweder durch die Vielfachheit der Nullstelle des Nenners(Fall die Vielfachheit der Nullstelle gerade ist, dann ohne VZW, falls ungerade dann mit VZW), oder durch den rechts-undlinksseitigen Limes an der Polstelle(also den Nullstellen des Nenners).

Was ist mit Vielfachheit der Nullstelle gemeint? die funktion lautet ja

y = \frac{x^{3}}{x^{2} - 4}

. Im Nenner steht ja

x^{2},

da der exponent gerade ist, sollte es an diesen Stellen eigentlich keinen VZW geben , oder? Aber wenn ich die Funktion plotte , findet an beiden Polstellen ein VZW statt.

Oder die zweite Variante: Wenn ich den rechts-und linksseitigen Limes an den Polstellen machen möchte, lässt sich das nicht ohne Taschenrechner ausrechnen.
Beispiel: Rechts-und Linksseitiger Limes an der Funktion

y = \frac{x^{3}}{x^{2} - 4}

an der Stelle

x_{0} = 2

R - lim = \frac{{2,1}^{3}}{{2,1}^{2} - 4} - - - - \to

wie kann ich im Kopf oder schriftlich

(\in

Rekordzeit) herausfinden ob die Funktion geben

+

oder - (Undendlich?) strebt? "Unendlich" habe ich absichtlich mit einem Fragezeichen in die Klammer geschrieben, weil ich nicht checke, warum es unendlich heißt,in diesem Fall. Es kommt ja kein unendlicher Wert dabei heraus, oder nicht?

L - lim = \frac{{1,9}^{3}}{{1,9}^{2} - 4} - - \to

Wie soll ich denn bitte

{1,9}^{3}

im Kopf ausrechnen?
Ich bitte um Hilfe!!

Da ich die Funktion geplottet habe kenne ich hier das Ergebnis schon, aber ich hätte gerne erklärt bekommen, wie ich rechnerisch an das Ergebnis komme.

\to

Bei der Stelle

x = 2

handelt es sich bei einer Polstelle mit VZW.

\to

Bei der Stelle

x = - 2

handelt es sich bei einer Polstelle mit VZW.

Asymptote:

1)

Senkrechte Asymptote durch die Polstelle mit VZW

x = 2

2)

Senkrechte Asymptote durch die Polstelle mit VZW

x = - 2

3)

Da der Zählergrad (ZG) um eins höher ist als der Nennergrad (NG) gilt folgende Regel zur Bestimmung der waagerechten Asymptote bei Gebrochen-rationalen Funktionen:
ZG=NG+1-> Asymptote erhält man durch Polynomdivision.

\to (x^{3}) : (x^{2} - 4) = x + (4 \frac{x}{x^{2}} - 4)

- (x^{3} - 4 x)

- - - - - - -

4 x

\to

da der Restterm

(4 \frac{x}{x^{2}} - 4)

für sehr große x-Werte gegen Null strebt, kann er vernachlässigt werden-

\to

Ergebnis : waagerechte Asymptote bei

y = x

\to

Also, die x-Achse ist eine waagerechte Asymptote.

Ich bitte um Eure Hilfe und Verbesserungen von Fehlern.

Mit besten Grüßen

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
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Grenzwerte im Unendlichen
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mathegenie123 aktiv_icon

12:04 Uhr, 27.10.2014

Kleine Korrektur : Ganz unten , bei der Bestimmung der waagerechten Asymptote lautet der Restterm nicht

4 \frac{x}{x^{2}} - 4

sondern

\frac{4 x}{x^{2} - 4}

. Habe nur einpaar klammern bei der eingabe vergessen . :-)

Bummerang

12:13 Uhr, 27.10.2014

Hallo,

bin noch nicht ganz fertig mit lesen, aber schon mal eine Antwort:

"Meine frage an dieser Stelle an euch: Wie bekomme ich heraus, ob hier ein Vorzeichenwechsel (VZW) vorhanden ist oder nicht?"

Du hast alle kritischen Stellen ermittelt, an denen sich das Vorzeichen eines Funktionswertes ändern kann. Das sind alle Nullstellen und alle Definitionslücken. Dazwischen müssen alle Werte entweder positiv oder negativ sein. Berechne

z . B

. einfach

f (- 3), f (- 1), f (1)

und

f (3)

und Du weisst, ob die Polstellen einen Vorzeichenwechsel haben oder nicht und Du weisst auch, ob

x = 0

sogar eine lokale Extremstelle ist!

FORTSETZUNG: (bin jetzt durch)

"

\to

Ergebnis : waagerechte Asymptote bei

y = x

\to

Also, die x-Achse ist eine waagerechte Asymptote."

Bitte schau Dir das noch mal genauer an! Wenn

y = x,

die Asymptotengleichung ist, dann ist doch nicht die x-Achse die Asymptote!

mathegenie123 aktiv_icon

12:21 Uhr, 27.10.2014

Hallo Bumerang,
danke für die prompte antwort :-).

Ich habe das schon genauso gemacht wie du sagtest also

f (1), f (3), f (- 1), f (- 3),

doch ich war mir nicht ganz sicher ob ich das generell so machen kann. Ich meine man sollte doch bei dem links-und rechtsseitigen limes Werte nehmen , die GANZ NAH an der Definitionslücke sind.

Kann ich generell das so machen wie du das mir empfohlen hast, also falls die Lücke beispielsweise bei 3 liegt, kann ich einfach einen ganzzahligen-Wert rechts und links davon nehmen ? In dieem Fall 2 und 4 ? Muss ich nicht richtig nahe an die Lücke gehen?

Andere Frage: Wie ist die korrekt mathematische Schreibweise bei dem Links und Rechtsseitigen Limes?
Bleiben wir mal bei diesem Beispiel

y = \frac{x^{3}}{x^{2} - 4}

.

Gruß
Mathegenie ;-)

mathegenie123 aktiv_icon

12:28 Uhr, 27.10.2014

Ja, du hast vollkommen recht. Es handelt sich hier um eine Asymptote mit der Geradengleichung

y = x

.

Wie nennt man solch eine Asymptote? Waagerechte Asymptote und senkrechte Asymptote und schiefe Asymptote scheiden als Begriffe wohl aus? Oder ?

Ich habe die Funktion (rot) und die Asymptote

y = x

(Blau) als Bilddatei eingefügt.

ledum aktiv_icon

12:39 Uhr, 27.10.2014

Hallo
Vielfaches einer Nullstelle:
Wenn man die Nullstellen

a

,b,c,...eines polynoms kennt kann man es auch als

p (x) = A \cdot (x - a) \cdot x - b) \cdot (x - c) . .

. usw schreiben. wenn

a, b, c

verschieden sind sind das einfache Nullstellen, wenn 2 davon gleich sind nennt man die Nullstelle doppelt
wenn 3 davon gleich sind 3 fach usw-
Deshalb hat

x^{2} - 4 = (x - 2) \cdot (x + 2), 2

einfache Nullstellen (also ungerade)

x^{2} - 4 x + 4 = (x - 2) \cdot (x - 2)

hat nur eine Nst, die dann doppelt heisst

{(x - 2)}^{3}

hat eine dreifache Nst usw

. {(x - a)}^{2} \cdot (x - b)

hat eine doppelte Nst bei a und eine einfache bei

b

.
zum Pol:
Wenn

Z

und

N

keine gemeinsame Nst haben, bleibt das Vorzeichen des

Z

in der Nähe der Nst. des

N

gleich, du musst also nur den Nenner links und rechts der Nst ansehen, und

x^{2} - 4

ändert sein Vorzeichen wenn

x

mal kleiner

2,

mal froßer 2
und zwar von - auf

+

bei

x = - 2

ist also ein Pol von positiv nach negativ, weil der Zähler neg, bie

x = + 2

umgekehrt.
du hast die Assymptote mit

y = x

richtig berechnet, das ist aber nicht die

x -

Achse, sondern die Winkelhalbierende!
die

x -

Achse als Assymptote kommt immer raus, wenn der Nennergrad größer als der Zählergrad ist!
Gruß ledum

Bummerang

12:44 Uhr, 27.10.2014

Hallo,

wir reden hier von Funktionen, die im Definitionsbereich abschnittsweise stetig sind,

d . h

die zwar Lücken im Definitionsbereich haben, aber zwischen den Lücken (und natürlich zwischen einer Lücke und

- \infty

bzw.

+ \infty)

ist die Funktion stetig. Nach dem Mittelwertsatz findet man zu zwei Stellen a und

b

mit

a < b,

für die gilt

f (a) \cdot f (b) < 0

(das bedeutet ja nichts anderes, als dass es einen Vorzeichenwechsel zwischen a und

b

gibt) und

f

ist stetig auf

[a; b],

ein

x \in (a; b)

mit

f (x) = 0

. Die Umkehrung sagt, wenn in

(a; b)

keine Nullstelle ist, dann gibt es dort keine Funktionswerte mit unterschiedlichen Vorzeichen. Daraus folgt letztendlich, dass jede abschnittsweise stetige Funktion innerhalb eines Stetigkeitsabschnitts nur genau dann das Vorzeichen wechselt, wenn es dort eine Nullstelle gibt. Und umgekehrt heisst das, dass ich zwischen Null- und Polstellen keinen Vorzeichenwechsel haben kann. Das mit dem sehr nahen Wert macht man nur, um das Wachstum in die entsprechende Richtung zu verdeutlichen. Aber wenn man weiss, dass es eine Polstelle ist, dann reicht es irgendeinen Wert aus dem Abschnitt zu berechnen, der dann dad Vorzeichen für das Unendlichzeichen liefert.

mathegenie123 aktiv_icon

16:45 Uhr, 29.10.2014

Hallo ,

toll ihr habt mir wunderbar weitergeholfen. Allerdings habe ich zwei Gedankengänge

, (

einer von Ledum und der andere von Bummerang) nicht verstanden.

@Ledum
das mit der Vielfachheit einer Nullstelle hast du wunderbar erklärt, besser als im Buch.
Damit spart sich das mit dem Link-und Rechtslimes, da ich auch dann so herausfinden kann ob die jeweiligen Polstellen einen VZW haben oder nicht.

Ich habe nicht verstanden, was du mir im nachhinein noch versucht hast zu vermitteln, ich zitiere : "zum Pol:
Wenn

Z

und

N

keine gemeinsame Nst haben, bleibt das Vorzeichen des

Z

in der Nähe der Nst. des

N

gleich, du musst also nur den
Nenner links und rechts der Nst ansehen, und

x^{2} - 4

ändert sein Vorzeichen wenn

x

mal kleiner

2,

mal größer 2
und zwar von - auf

+

bei

x = - 2

ist also ein Pol von positiv nach negativ, weil der Zähler neg, bie

x = + 2

umgekehrt.
du hast die Assymptote mit

y = x

richtig berechnet, das ist aber nicht die x−Achse, sondern die Winkelhalbierende!
die x-Achse als Assymptote kommt immer raus, wenn der Nennergrad größer als der Zählergrad ist!
Gruß ledum"

Bitte versuch mich das etwas einfach , bestenfalls mit einem Beispiel zu erklären.

@Bummerang
deinen letzten Beitrag habe ich dast komplett nicht verstanden.
Bitte erläutere mir genau, in einfachen worten :-) , was du mir sagen wolltest.

Mein Hauptanliegen wurde glaube ich aber beantwortet,

und zwar,

1 .)

wenn ich den Links-/Rechtslimes anwende, kann ich eine ganze Zahl rechts und links( die direkt am nächsten) von der Polstelle nehmen und in die Funktion einsetzen, um zu sehen wie sich die Werte verändern.

2 .)

Wenn ich das anhand der Vielfachheit der Nullstellen beurteilen will ob ein VZW stattfindet oder nicht, muss ich einfach die Nenner-Funktion in der Form

p (x) = A \cdot (x - a) \cdot (x - b) \cdot (x - c) . .

. usw. aufschreiben um die Vielfachheit einer Nullstelle abzulesen (man kann es auch im Kops machen) um dann zu beurteilen ob ein VZW an der jeweiligen Polstelle stattfindet oder nicht.

Wenn meine kleine Zusammenfassung so korrekt ist und jemand mir die Fragen die ich an Bummerang und ledum gestellt habe beantwortet bin ich zufrieden.

Gruß
Mathegenie:-)

mathegenie123 aktiv_icon

19:55 Uhr, 29.10.2014

danke. Eigentlich wollte ich noch unbedingt wissen ob ich das mit dem Linksseitigen und rechtsseitigen Limes so schreiben kann/darf :

Limes an der Stelle

x_{0} = 2

links:

lim \frac{x^{3}}{x^{2} - 4} = \frac{1^{3}}{1^{2} - 4} = - \frac{1}{3}

x \to 2

(x < 2)

rechts :

lim \frac{x^{3}}{x^{2} - 4} = \frac{3^{3}}{3^{2} - 4} = \frac{27}{5}

x \to 2

(x > 2)

Limes an der Stelle

x_{0} = - 2

links:

lim \frac{x^{3}}{x^{2} - 4} = \frac{{(- 3)}^{3}}{{(- 3)}^{2} - 4} = - \frac{27}{5}

x \to - 2

(x < - 2)

rechts:

lim \frac{x^{3}}{x^{2} - 4} = \frac{{(- 1)}^{3}}{{(- 1)}^{2} - 4} = \frac{1}{3}

x \to - 2

(x ≻ 2)

Ist das mathematisch so korrekt geschrieben? Und was soll ich danach hinschreiben?

mathegenie123 aktiv_icon

06:43 Uhr, 30.10.2014

Hallo,

bitte um Antwort. Ist glaube ich nicht soooo schwer.

:-)

Respon

08:03 Uhr, 30.10.2014

Ich habe mir nicht alles durchgelesen. Aber der letzte Eintrag ist formal nicht richtig.

z . B

.
"

lim_{x \to 2^{-}} \frac{x^{3}}{x^{2} - 4} = \frac{1^{3}}{1^{2} - 4} = - \frac{1}{3}

"
Anfangs steht ein UNEIGENTLICHER Grenzwert ( also hier

- \infty)

und rechts die konkrete Zahl

- \frac{1}{3}

Ich nehme an, du wolltest

f (1)

bzw.

f (3)

berechnen um die Vorzeichen links und rechts von der Polstelle zu bestimmen.

mathegenie123 aktiv_icon

17:04 Uhr, 01.11.2014

ja genau, das wollte ich.

Wie schreibe ich das mathematisch korrekt hin, wenn ich den Recht-und Linkslimes machen will.

mathegenie123 aktiv_icon

18:08 Uhr, 01.11.2014

Ich habe bei Wikipedia nachgeschaut ( hätte ich auch früher machen können

- . -)

dort wird beschrieben, wie man den Rechts-und Linkslimes mathematisch korrekt hinschreibt, und hoffe dass das so richtig ist .

Könnte mal jemand nachkucken ob das so richtig ist, dann werde ich das in der Prüfung auch so hinschreiben :

hier der link : de.wikibooks.org/wiki/Analysis:_Kurvendiskussion#Polstellen

einfach nach unten, zum Unterpunkt " Polstellen" scrollen.

mathegenie123 aktiv_icon

20:58 Uhr, 02.11.2014

warum kann mir niemand meine frage eingehend beantworten, obwohl meine Frage vergleichsweise einfach ist zu beantworten, ich denke nicht dass ihr da an eure Hürden stoßt.

Bitte, bitte beantwortet mir die Frage.+

mathegenie123 aktiv_icon

22:50 Uhr, 02.11.2014

ist das sooooo schwer zu beantworten. BITTTE BITTEEEEEEEE

!!!!

ICH MÖCHTE ENDLICH DAMIT ABSCHLIEßEN!!!!!

mathegenie123 aktiv_icon

23:03 Uhr, 02.11.2014

Ich habe mir die Frage durch etwas nachforschen selbst beantwortet, Gott sei dank :-)

Trotzdem vielen dank :-)

Beste Grüße

Das " Mathegenie" ;-)

mathegenie123 aktiv_icon

23:03 Uhr, 02.11.2014

Ich habe mir die Frage durch etwas nachforschen selbst beantwortet, Gott sei dank :-)

Trotzdem vielen dank :-)

Beste Grüße

Das " Mathegenie" ;-)

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