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Lipschitz-Stetigkeit

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Grenzwerte

Tags: Grenzwert, Lipschitz-stetig

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Daredevil2201

Daredevil2201 aktiv_icon

22:27 Uhr, 13.11.2024

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Ich habe eine Frage ich habe bereits bewiesen, dass

f : [4,

∞) →

R : x

→

\frac{1}{| x - 3 |}

Lipschitz-stetig ist.

Nun muss ich begründen, dass

f : [2, 3)

→

R : x

→

\frac{1}{| x - 3 |}

nicht Lipschitz-stetig ist.

ich habe hierfür gesagt dass

| f (x) - f (y) | \leq L | x - y |

die Bedingung ist für die Lipschitz-stetig also habe ich gesagt

| f (x) - f (y) | = \frac{| y - x |}{| x - 3 | \cdot | y - 3 |} \leq L | x - y |

da jetzt aber der Nenner für

x

und

y

gegen drei sehr sehr klein wird, wird

| f (x) - f (y) |

dadurch ja groß

\to

∞, also kann kein

L

existieren für das gilt

| f (x) - f (y) | \leq L | x - y |

.

Stimmt das so?
Ist das schlüssig formuliert und falls nicht wie formuliere ich dass korrekt?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
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Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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Antwort

HAL9000

07:36 Uhr, 14.11.2024

Antworten

Man kann es auch noch konkretisieren: Wählt man speziell

x = 3 - h

und

y = 3 - 2 h

mit "kleinen"

h > 0

, dann führt Lipschitz-Bedingung

\frac{∣ y - x ∣}{∣ x - 3 ∣ \cdot ∣ y - 3 ∣} \overset{?}{\leq} L \cdot ∣ y - x ∣

zu

\frac{1}{2 h^{2}} \overset{?}{\leq} L

, was nur für

h \geq \sqrt{\frac{1}{2 L}}

erfüllt ist, für kleinere

h

hingegen nicht - Widerspruch zur Lipschitz-Stetigkeit mit Konstante

L

.

Antwort

michaL

michaL aktiv_icon

07:39 Uhr, 14.11.2024

Antworten

Hallo,

ich wäre für konkreter!

Sei

x := 3 - \frac{1}{n}

(für ein

n \in ℕ_{\geq 1}

), sowie

y := 3 - \frac{1}{m}

(für ein

m \in ℕ_{\geq 1}

)

.

Es gelten dann:

f (x) = \frac{1}{∣ x - 3 ∣} = \frac{1}{∣ 3 - \frac{1}{n} - 3 ∣} = n

und

f (y) = m

, wobei

∣ x - y ∣ = ∣ \frac{1}{n} - \frac{1}{m} ∣ < 1

.

Mfg Michael

Ups: Sorry, habe die Antwort nicht mitbekommen...

Antwort

HAL9000

07:44 Uhr, 14.11.2024

Antworten

Eine andere Möglichkeit: Ist

f

differenzierbar und findet man für alle

L > 0

in der Definitionsmenge ein Teilintervall

[a, b]

mit

∣ f ´ (x) ∣ > L

für alle

x \in (a, b)

, dann ist

f

nicht Lipschitz-stetig - was man mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung dann sehr leicht zeigen kann.

Antwort

pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

10:53 Uhr, 14.11.2024

Antworten

Hallo,

nur ein technische Anmerkung: Hinter " also habe ich gesagt " ist das Gleichheitszeichen falsch, es gilt "nur"

\leq -

was natürlich völlig ausreicht

Antwort

HAL9000

13:07 Uhr, 14.11.2024

Antworten

> Hinter " also habe ich gesagt " ist das Gleichheitszeichen falsch,

Meinst du das Gleichheitszeichen in

∣ f (x) - f (y) ∣ = \frac{∣ y - x ∣}{∣ x - 3 ∣ \cdot ∣ y - 3 ∣}

? Das ist korrekt, zumindest auf der hier benannten Definitionsmenge

[2, 3)

. Man hätte damit hier sowieso statt der Betragszeichen in der Funktionsdefinition gleich

f (x) = \frac{1}{3 - x}

schreiben können und damit dann

∣ f (x) - f (y) ∣ = \frac{∣ y - x ∣}{(3 - x) \cdot (3 - y)}

.

Antwort

pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

16:05 Uhr, 14.11.2024

Antworten

Hallo,

ja, ich hatte die Einschränkung des Definitionsbereichs übersehen

Antwort

pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

16:05 Uhr, 14.11.2024

Antworten

Hallo,

ja, ich hatte die Einschränkung des Definitionsbereichs übersehen

Frage beantwortet

Daredevil2201

Daredevil2201 aktiv_icon

21:02 Uhr, 14.11.2024

Antworten

Vielen Dank für eure Hilfe.

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