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Lösungsmenge von Exponentialfunktion bestimmen-log

Schüler Gymnasium, 9. Klassenstufe

Tags: Exponentialfunktion, Logarithmusfunktion, Lösungsmenge ermitteln

silkshine aktiv_icon

18:58 Uhr, 30.01.2010

Hallo,
ich habe folgende Aufgabe:

Bestimme die Lösungsmenge.

3^{x + 1} = 2 \cdot 3^{2 x}

Mein Ansatz:

3^{x + 1} = 2 \cdot 3^{2 x} | : 2

{1,5}^{x + 1} = 3^{2 x} | log

log ({1,5}^{x + 1}) = log (3^{2 x})

(x + 1) log 1,5 = (2 x) log 3 | : log 1,5

x + 1 = 2 x \frac{log 3}{log 1,5} | : 2 x

\frac{x + 1}{2 x} = \frac{log 3}{log 1,5}

meine Frage: ist das bisher richtig und wie kann ich da das

x

rausbekommen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Logarithmusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
ln-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Einführung
Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Timmey aktiv_icon

19:05 Uhr, 30.01.2010

im ersten schritt ist schon was schief gelaufen.
du kannst nicht einfach die 3 durch 2 teilen solange noch

x + 1

im exponenten steht.
versuch im ersten schritt zu logarithmieren und beachte dann, dass

log (a \cdot b) = log (a) + log (b)

ist.

silkshine aktiv_icon

19:24 Uhr, 30.01.2010

Danke.

Also so dann?

3^{x + 1} = 2 + 3^{2 x}

log (3^{x + 1}) = log (2^{2 x}) + log (3^{2 x})

(x + 1) log 3 = (2 x) log 2 + (2 x) log 3 | : log 3

x + 1 = \frac{(2 x) log 2 + (2 x) log 3}{log 3}

[log 3

und

log 3

kürzen sich weg)

x + 1 = (2 x) log 2 + 2 x | - 1

x = (2 x) log 2 + 2 x - 1

. .

. richtig ? wenn ja und dann?

xx1943 aktiv_icon

19:56 Uhr, 30.01.2010

Ich denke die zuerst genannte Aufgabenstellung ist die richtige:

3^{x + 1} = 2 \cdot 3^{2 \cdot x}

Da die Basis der Potenzen auf beiden Seiten gleich ist, kann man die Gleichung mit Gewinn auf beiden Seiten durch

3^{2 \cdot x}

. dann steht auf der rechten Seite 2 und die linke Seite kannst Du mit Hilfe der Potenzgesetze als Potenz von 3 schreiben.

?????

= 2

und nun geht es einfach weiter indem man die Gleichung logarithmiert.

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

Man aber auch die ursprüngliche Gleichung logarithmieren (wie Du es im 2. Versuch probiert hast). Leider ist Dir dabei sofort wieder ein Fehler unterlaufen.
Wenn Du willst, machen wir das zusammen Schritt für Schritt:

3^{x + 1} = 2 \cdot 3^{2 \cdot x}

{log}_{3} (3^{x + 1}) = {log}_{3} (2 \cdot 3^{2 \cdot x})

Ich nehme

{log}_{3}

weil

{log}_{3} (3) = 1

ist

(x + 1) \cdot {log}_{3} (3) = {log}_{3} (2) + 2 x \cdot {log}_{3} (3)

... ... ... ... ... ... ... ... ...

. nun kannst Du diese Gleichung leicht nach

x

auflösen.

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