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Majorantenkriterium, wie finde ich eine Lösung?

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Grenzwerte

Tags: Folgen und Reihen, Grenzwert, Konvergenz, Majorantenkriterium????

Sgreb aktiv_icon

08:46 Uhr, 28.11.2019

Hallo ihr Lieben,

ich bin am verzweifeln. Und zwar geht es um das Majorantenkriterium. Ich weiß, dass dieses Kriterium benutzt wird, um mit dem Konvergenzverhalten einer einen Reihe auf das Konvergenzverhalten einer anderen Reihe zu schließen. Konvergenz ist eine Reihe, wenn sie einen Grenzwert besitzt. Was bedeutet, dass eine Reihe nach oben abgeschätzt wird? Nach oben gibt es doch unendlich viele Reihen. Was ist überhaupt mit oben gemeint?

Folgende Aufgaben sind zu lösen und ich weiß nicht mal ein Ansatz..:

\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{a}{n \cdot \sqrt{ln (n)}}

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n - ln (n)}

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n + 1}{n^{2} - 3}

Liebe Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
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Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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ermanus aktiv_icon

09:59 Uhr, 28.11.2019

Hallo,

bei der ersten (schwierigsten) Reihe benutze das Cauchysche Verdichtungskriterium.
Die verdichtete Reihe besitzt als divergente Minorante

a \sum (1 / n)

.

Gruß ermanus

ermanus aktiv_icon

10:59 Uhr, 28.11.2019

Damit du nicht in die falsche Richtung gehst,
verrate ich dir noch, dass alle drei Reihen divergieren,
was du am einfachsten mit einer divergenten Minorante zeigst ...
Gruß ermanus

Edddi aktiv_icon

11:31 Uhr, 28.11.2019

. .

. auch wenn's für deine 3 Reihen nicht zutrifft trotzdem nochmal zu deiner Fragestellung, wie nach oben mit konvergierender Majorante abzuschätzen ist:

Bsp:

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2} + 1}

Hier hilft die bekannte Reihe

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} = \frac{π^{2}}{6}

Es ist doch für

n \geq 1

klar, dass

n^{2} + 1 > n^{2}

und damit

\frac{1}{n^{2} + 1} < \frac{1}{n^{2}}

Damit muss dann auch

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2} + 1} < \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} = \frac{π^{2}}{6}

Wir haben also mit

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} = \frac{π^{2}}{6}

eine konvergierende Majorante gefunden -

ergo konvergiert auch

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2} + 1}

P . S

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2} + 1} = \frac{1}{2} (π c o t h (π) - 1) = 1,0766 . .

< \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} = \frac{π^{2}}{6} = 1,644 . .

.

;-)

Sgreb aktiv_icon

12:01 Uhr, 28.11.2019

vielen Dank! Ja das verstehe ich und ist auch alles logisch :-) bei meiner Aufgabe hier fällt mir ja aber so eine bekannte konvergierende Reihe.

Sgreb aktiv_icon

12:06 Uhr, 28.11.2019

Okay, hm. Und wie komme ich darauf, wenn ich noch nie von der Cauchy Folge gehört habe. Beziehungsweise wie ist die Vorgehensweise? Ich würde das so gerne verstehen können.. Allein mit dem Majorantenkriterium sind die Aufgaben doch gar nicht zu lösen oder?

LG

ermanus aktiv_icon

12:26 Uhr, 28.11.2019

Die zweite und dritte Reihe kannst du ohne Verdichtungssatz
einfach mit dem Majorantenkriterium erschlagen. Schau dir dies Kriterium
doch mal genau an, es sagt doch auch etwas über divergente Minoranten aus.

Beispiel:

\sum \frac{n^{2} + 3 n + 2}{n^{3}}

hat wegen

\frac{n^{2} + 3 n + 2}{n^{3}} \geq \frac{n^{2}}{n^{3}} = \frac{1}{n}

die harmonische Reihe als Minorante. Da diese divergiert, divergiert auch die
Originalreihe.

Wenn du also in einer Reihe mit positiven Gliedern diese durch kleinere
ersetzt und dann etwas Divergentes herauskommt, ist die Reihe selbst
divergent.

Gruß ermanus

Sgreb aktiv_icon

13:05 Uhr, 28.11.2019

Tut mir leid, ich bin total überfragt

: - (

. Ich weiß, dass die harmonische Reihe

\frac{1}{n}

divergiert. Aber in welchem Zusammenhang eine Minorante jetzt mit den Aufgaben steht, weiß ich nicht. Wie finde ich denn bei der 2. und 3. Aufgabe heraus, dass diese divergent sind. Ein Ansatz wäre toll. 1. Schritt wäre ja eine größere Reihe finden. Da stellt sich mir die Frage, wie finde ich eine größere Reihe. Wofür suche ich nach einer größeren Reihe. Schon klar, um auf eine Divergenz oder Konvergenz einer kleineren Reihe schließen zu können. Wieso kann man nicht direkt auf eine Divergenz oder Konvergenz schließen? 2. Schritt Wahrscheinlich dann schauen ob die Folge

a . n

der Reihe einen Grenzwert hat?

Liebe Grüße

ermanus aktiv_icon

13:09 Uhr, 28.11.2019

Die Reihen sind doch DIVERGENT. Du musst also eine kleinere
Reihe finden, die bekanntermaßen divergent ist.
Du willst doch nicht zeigen, dass die Reihe konvergiert ...

Edddi aktiv_icon

13:21 Uhr, 28.11.2019

. .

. es scheint, du hast das Prinzip noch nicht durchschaut. Ich schreib's mal hier vereinfacht hin:

Du hast also eine Reihe

\sum_{n = a}^{\infty} f (n)

von der du nicht weißt, ob sie konvergiert oder divergiert.

Findest du eine bekannte Reihe

\sum_{n = a}^{\infty} g (n),

deren Glieder kleiner sind

(g (n) < f (n))

und diese Reihe divergiert, so muss auch

\sum_{n = a}^{\infty} f (n)

divergieren.

Findest du allerdings eine bekannte Reihe

\sum_{n = a}^{\infty} G (n),

deren Glieder größer sind

(f (n) < G (n))

und diese Reihe konvergiert, so muss auch

\sum_{n = a}^{\infty} f (n)

konvergieren.

Man schachtelt also

g (n) < f (n) < G (n)

ein.

Und eine "größere" Majorante findet man, wie du anfangs schon festgestellt hast, zu Hauf, wenn die allerding nicht konvergieren sondern divergieren, so hilft dir das ja nicht weiter.
Genauso wenig hilft dir eine konvergierende Minorante. Die gibt's zwar auch, sagt jedoch ebenfalls nix zu deiner Reihe aus.

;-)

Sgreb aktiv_icon

13:32 Uhr, 28.11.2019

Top, alles verstanden, was du geschrieben hast. Weitere Frage, muss das 1. Glied, der Majorante/Minorante größer/kleiner als das 1. Glied, der gegebene Reihe sein und das 2. Glied, der Majorante/Minorante größer/kleiner als das 2. Glied, der gegebenen Reihe sein und so weiter oder nur die Reihe gesamt? Das Prinzip der Vorgehensweise habe ich verstanden, wie ich aber jetzt eine solche Majorante oder Minorante finde, bleibt mir ein Rätsel.

In der Aufgabenstellung steht, dass die Aufgaben mit dem Majoranten(-Vergleichs)- Kriterium gelöst werden sollen.

Vielen Dank für eure zahlreichen Antworten.

Edddi aktiv_icon

14:06 Uhr, 28.11.2019

. .

. machen wir mal die

2 . :

Man sucht also am besten eine konv. Reihe mit bekannten Gliedern, nach der man abschätzt.

So ist ja

n - ln (n) \leq n

und somit

\frac{1}{n - ln (n)} \geq \frac{1}{n}

Also nehmen wir die Reihe von

\frac{1}{n}

zum abschätzen.

Da

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} \to \infty

(divergent), was folgt dann wohl für

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n - ln (n)}

??

;-)

ermanus aktiv_icon

14:09 Uhr, 28.11.2019

Da hat Edddi sich verschrieben:
"Man sucht also am besten eine konv. Reihe mit ..."
er meinte
"Man sucht also am besten eine divergente Reihe mit ..."

anonymous

14:14 Uhr, 28.11.2019

...ich glaube hier ist noch mehr verdreht.
...nein, ist doch nur der Schreibfehler, aber

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}

ist konvergent.
und daraus folgt nicht dass

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n - \ln (n)}

auch konvergiert.

ermanus aktiv_icon

14:26 Uhr, 28.11.2019

Die harmonische Reihe ist divergent !!!!!!

anonymous

14:31 Uhr, 28.11.2019

Ok, das war mir nicht bewusst/bekannt.
Bin wohl fälschlicherweise davon ausgegangen, dass die Zuwächse mit unendlich großem n gegen 0 gehen und somit die Summe gegen einen Grenzwert strebt.

ermanus aktiv_icon

14:34 Uhr, 28.11.2019

Die harmonische Reihe ist das "Standardbeispiel" für eine "schwach divergente"
Reihe, von der man zunächst annimmt - so wie du - dass sie eher konvergiert ;-)
Für Divergenzbeweise wird sie daher häufig als divergente Minorante
verwendet.

HAL9000

19:39 Uhr, 28.11.2019

> Bin wohl fälschlicherweise davon ausgegangen, dass die Zuwächse mit unendlich großem n gegen 0 gehen UND SOMIT die Summe gegen einen Grenzwert strebt.

Solche Flausen sollten einem eigentlich in der allerersten Stunde zu Reihen ausgetrieben werden. ;-)

Sgreb aktiv_icon

20:06 Uhr, 01.12.2019

Hallo nochmal ihr, vielen Dank für euren ganzen Antworten. Hat mir auf jeden Fall weitergeholfen! So ganz verstehe ich es leider noch nicht, wie man jetzt genau auf die größer Majorante kommt. Trotzdem vielen vielen Dank!

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