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Mikroökonomie, Optimaler Konsumplan/Versicherungss

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Grenzwerte

Tags: Grenzwert, Konsumplan, Lagrange, maximierung, Mikroökonomie, Optimierung, Sonstiges

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17:11 Uhr, 25.06.2012

Hallo!

Ich habe folgende Aufgabe zu lösen:

Ein Individuum überlegt, eine Versicherung gegen einen unsicheren Schadensfall abzuschließen: Das Individuum kann sein Vermögen

W

mit einer Wahrscheinlichkeit von

1 - π

behalten, während mit einer Wahrscheinlichkeit von

π

ein Verlust in Höhe von

D, W > D > 0

eintritt. Das Individuum kann sich durch den Kauf einer Versicherung in Höhe von

K \leq D

gegen den unsicheren Schadensfall absichern. In diesem Fall bezahlt es pro Einheit Versicherung eine Prämienrate

p

.
Die Präferenzen des risikoaversen Individuums können mithilfe einer Erwartungsnutzenfunktion dargestellt werden, wobei diese

u (y) = 2 \sqrt{y}

lautet.

a) Wie lautet das Nutzenmaximierungsproblem des Individuums? Berechnen Sie die Versicherungsnachfrage des Individuums.

Gemäß unseres Skriptums habe ich zuerst die Lagrange-Funktion zur Maximierung der Erwartungsnutzenfunktion unter den Nebenbedingungen

y_{1} = W - D + (1 - p) K

y_{2} = W - p K

0 \leq K \leq D

wie folgt aufgestellt:

L = π u (y_{1}) + (1 - π) u (y_{2}) - λ_{1} (y_{1} - (W - D + (1 - p) K) - λ_{2} (y_{2} - W + p K)

L = 2 π \sqrt{y_{1}} + 2 (1 - π) \sqrt{y_{2}} - λ_{1} (y_{1} - (W - D + (1 - p) K) - λ_{2} (y_{2} - W + p K)

und diese dann nach

y_{1}

y_{2}

und

K

abgeleitet, wobei sich folgende Optimalitätsbedingung ergibt:

\frac{π u ʹ (y_{1})}{(1 - π) u ʹ (y_{2})} = \frac{π / \sqrt{y_{1}}}{(1 - π) / \sqrt{y_{2}}} = \frac{π}{1 - π} = \frac{p}{1 - p}

Falls die Ableitungen richtig sind, ist alles konform mit dem Skriptum, nur wird dort nirgends erwähnt, wie man dann auf die optimale Versicherungssumme

K^{*}

und den optimalen Konsumplan

(y_{1}, y_{2})

kommt. Ich muss dazu sagen, dass ich eigentlich keine Erfahrung mit Lagrange-Funktionen mit mehreren Nebenbedingungen habe.

Hat irgendjemand einen Denkanstoß für mich?

Angehängt hab ich die entsprechende Folie des Skriptums.

Danke schonmal vorweg!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
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Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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16:58 Uhr, 26.06.2012

Also, für alle die das selbe Problem haben (was ich bezweifle, aber man weiß ja nie ^^) - hier die Lösung:

y_{1} = W - D + (1 - p) K

y_{2} = W - p K

Optimalitätsbedingung:

\frac{π \sqrt{y_{2}}}{(1 - π) \sqrt{y_{1}}} = \frac{p}{1 - p} §

Dann einfach die beiden Nebenbedingungen in die Optimalitätsbedingung einsetzen, also

\frac{π \sqrt{W - p K}}{(1 - π) \sqrt{W - D + (1 - p) K}} = \frac{p}{1 - p}

Nach K aufgelöst ergibt gemäß Maple folgenden schönen Ausdruck:

K^{*} = \frac{- 2 W p π^{2} - W p^{2} + 2 W p^{2} π + W π^{2} + p^{2} D - 2 p^{2} D π + p^{2} D π^{2}}{p (p - 2 π p - p π^{2} - p^{2} + 2 p^{2} π + π^{2})}

Damit hätten wir die optimale Versicherungsnachfrage.
Das könnt ihr dann in die beiden Nebenbedingungen einsetzen und erhaltet den optimales Konsumplan

(y_{1}^{*}, y_{2}^{*})

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