Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Münzen beliebig stapeln?

Münzen beliebig stapeln?

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen, Grenzwert, lim, Reihen, Überhang

Sunny92 aktiv_icon

12:13 Uhr, 28.12.2012

Hallo,

ich bin neu hier im Forum und hoffe, ihr könnt mir helfen.

Ich habe folgende Aufgabe:

a)

Zeigen Sie, dass man durch versetztes Aufeinanderstapeln von 2-Euro-Münzen einen Turm mit beliebig grossem Überhang bauen könnte, wenn man sie nur zur Verfügung hätte.

Hinweis: Es wurden die Euros von oben nach unten nummerieren. Mit der x−Achse (Die ihren Nullpunkt bei der Münze hat, die am weitesten von der untersten entfernt ist) schreiben wir

s_{k}

für die x−Koordinate des gemeinsamen Schwerpunkts der ersten

k

Münzen, μ_k für die x−Koordinate des Mittelpunkts der k−ten Münze und

u_{k}

für den Überhang der k−ten Münze über der k+1−ten.
Wir bauen den Turm mit überall maximalem Überhang: dann gilt

s_{1} =

μ_1

= u_{1} = r

und μ_(k+1)

= s_{k} + r (k

∈

ℕ)

. Die Schwerpunkte erfüllen die Rekursionsgleichung:

s_{k + 1} = (k \cdot s_{k}

+1*μ_(k+1))/(k+1)

und für den Überhang gilt folgende Beziehung: u_k=μ_(k+1)−μ_k (kinNN)
Für

u_{k}

ließe sich nun leicht eine explizite Formel finden.

b)

Der Radius eines 1-Eurostückes ist

r

=1.1cm. Geben Sie eine Abschätzung daü ̈r an, wie teuer ein Turm mit

12

cm Überhang mindestens ist.

Was ich weiß oder Vermute:

Das Bild, welches ich mir überlegt habe lässt vermuten, dass es sich um die Harmoniche Reihe handelt.

Ich glaube, dass mit dieser reihe das in etwa so aussehen könnte: Sei

d

die Länge eines Euros mit

d = 2 r :

Überhang

= (\frac{d}{2}) Σ^{n} k = 1 (\frac{1}{k})

Da sieht man dann sofort, dass die Reihe nach unendlich divergiert.

Dann habe ich versucht ein Paar Werte mit der Rekursionsformel zu rechnen:

µ_(k+1)=

s_{k} + r

k = 0 : \Rightarrow s_{1} = r

k = 1 : \Rightarrow s_{2} = \frac{1 \cdot r + 1 \cdot (r + r)}{1 + 1} = 3 \frac{r}{2}

k = 2 : \Rightarrow S_{3} = \frac{1 \cdot (3 \frac{r}{2}) + 1 \cdot ((3 \frac{r}{2}) + r)}{2 + 1} = \frac{11}{6} r

Ist

a)

auch ohne Verwendung des Hinweises richtig? Wie würde die Lösung mit dem Hinweis aussehen? Wie lautet die explizite Formel? da habe ich gar keine Idee, sie muss ja die berechneten Werte von oben ergeben, oder?

zu

b) :

Hier würde ich einfach folgendes tun:
Sei

d

die Länge eines Euros mit

d = 2 r :

Überhang

= (\frac{d}{2}) Σ^{n} k = 1 (\frac{1}{k})

Also

d =

2,2cm

\Rightarrow (\frac{2,2}{2}) Σ^{n} k = 1 (\frac{1}{k}) = 15

cm
Stehe ich natürlich vor dem Problem, wie ich nun

n

berechne?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ableitung an einer Stelle

Wie bestimmt man die Ableitung

f' (x)

einer Funktion

f (x)

an der Stelle

x_{0}

Grenzwert einer Funktion

Wie bestimmt man den Grenzwert einer Funktion?

Grenzwert mit l'Hospital bestimmen

Wie bestimmt man einen Grenzwert mit der Regel von l'Hospital?

Wie bestimmt man einen Grenzwert, bei dem

\frac{0}{0}

oder

\frac{\infty}{\infty}

herauskommt?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades durch?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades durch?

Sunny92 aktiv_icon

10:12 Uhr, 29.12.2012

Hat keiner eine Idee?

Zum Berechnen des Überhanges, könnte ich natürlich auch einfach Zahlen annehmen. da

\frac{1}{k}

immer kleiner wird, muss man ja bis zu einem sehr großen

n

summieren. Evtl. Excel-Tabelle und dann mal

n = 1000

und

10000

und

100000

probieren.

Grüßchen
Sunny

Sunny92 aktiv_icon

16:06 Uhr, 29.12.2012

Evtl. ist der Aufgabentext schwierig zu lesen, hier noch mal neu:

a)

Zeigen Sie, dass man durch versetztes Aufeinanderstapeln von 2-Euro-Münzen einen Turm mit beliebig grossem Überhang bauen könnte, wenn man sie nur zur Verfügung hätte.

b)

Der Radius eines 1-Eurostückes ist

r

=1.1cm. Geben Sie eine Abschätzung daü ̈r an, wie teuer ein Turm mit

12

cm Überhang mindestens ist.

Die Infos zur Aufgabe findet ihr nun im Anhang als Bild. Auch die Formel.

hoffe, jetzt könnt ihr mir besser helfen...

Grüße
Eure Sunny

pwmeyer aktiv_icon

12:31 Uhr, 31.12.2012

Hallo,

die Rekursionsformel sagt:

s_{k + 1} = \frac{k \cdot s_{k} + s_{k} + r}{k + 1} = s_{k} + \frac{r}{k + 1}

Also mit

s_{1} = r : s_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{r}{k}

Damit sind dann auch di

μ_{k}

bestimmt und

u_{n} = μ_{n + 1} - μ_{1}

Zur Bestimmung eines

n

mit einem vorgegebenen Überhang sehe ich zunächst die Möglichkeit eine numerischen Berechnung - lass ein Programm die harmonische Summe aufsummieren, bis der Wert überschritten ist.

Andernfalls musst Du Dir eine Abschätzung für die harmonsiche Summe suchen

Gruß pwm

Sunny92 aktiv_icon

13:05 Uhr, 31.12.2012

Hi,
danke für die Antwort.

Wie auf

s_{k} + (\frac{r}{k + 1})

kommst ist mir klar. Jedoch nicht genau, wie du dann davon zu der Reihe kommst?

Die Reihe ansich wiederum ist klar, da sie ja sogar meiner genannten entspricht.

ich habe mit dem hier probiert: www.mathe-online.at/galerie/grenz/reihennumerisch.html

rechnet noch, denn

10000

war zu wenig. jetzt habe ich mal

100000

probiert.

Wie würde die Abschätzung funktionieren?

Orthando aktiv_icon

16:31 Uhr, 31.12.2012

Ohne das Problem genauers angeschaut zu haben, ist aber gleichzeitig wohl ein
anderer an diesem Problem hängen geblieben.
Das mag dir vllt weiterhelfen?

http//www.matheboard.de/thread.php?threadid=510241

:-)

pwmeyer aktiv_icon

17:22 Uhr, 31.12.2012

Hallo,

"Jedoch nicht genau, wie du dann davon zu der Reihe kommst?

Berechne doch mal mit der Formel

s_{1}, s_{2}, s_{3}, ...,

allerdings ohne die Terme zusammenzufassen. Im übrigen hilft der Link von Orthando.

"Wie würde die Abschätzung funktionieren?"

Beim Beweis der Divergenz der harmonischen Reihe habt Ihr doch wahrscheinlich eine untere Abschätzung für die Partialsummen hergeleitet, die könntest Du nehmen.

Gruß pwm

pwmeyer aktiv_icon

17:23 Uhr, 31.12.2012

Hallo,

"Jedoch nicht genau, wie du dann davon zu der Reihe kommst?

Berechne doch mal mit der Formel

s_{1}, s_{2}, s_{3}, ...,

Sunny92 aktiv_icon

13:44 Uhr, 01.01.2013

Ja, jetzt ist alles klar. Hatte es mittlerweile durch aufschreiben der Glieder auch gefunden.

Vielen Dank für die Hilfe..

1061387

1060877

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?