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Newtonsches Ableitungsgesetz herleiten

Schüler Gymnasium,

Tags: Differentialgleichung, Herleitung, Integral

Nico-

14:28 Uhr, 06.08.2023

Hi!
Für ein Projekt möchte ich das Newtonsche Abkühlungsgesetz herleiten, stoße aber an meine mathematischen Grenzen

: (

Kann mir jemand helfen, ich selber habe bisher noch nichts zu Differentialgleichungen und Integralen in der Schule gelernt...

Hier ist was ich bis jetzt weiß und va was meine Probleme sind:

Das Gesetz besagt, dass die momentane Änderungsrate der Temperatur eines Körpers und die Differenz der Körpertemperatur zur Zeit und der Umgebungstemperatur proportional sind.
Daraus kann man anscheinend Folgendes ableiten:
dT/dt = k*(Tu-T)
Ich denke verstanden zuhaben, dass dT/dt auch als

T'

geschrieben werden kann (?).
Im Internet habe ich mir die Grundlagen von Differentialgleichungen-lösen angeschaut und hab das gemacht:
dT = k*(Tu-T)*dt
Danach muss man mit Integralen arbeiten, oder?
Aber die Newtonsche Abkühlungsformel ist ja auch

T (t) =

+

(T0-Tu)

\cdot e^{- k \cdot t}

Woher kommt die Eulersche Zahl und wie kommt man darauf?

LG und habt einen schönen Tag :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

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calc007

16:00 Uhr, 06.08.2023

Hallo
So ganz ohne Vorkenntnisse zu Differenzial-Gleichungen

>

wirst du dir schwer tun,

>

werden wir uns schwer tun, das zu erklären, was sonst in Büchern auf hunderten von Seiten steht.

In ganz arger Kürze:
ja

T' =

dT/dt
wobei dann
das große

T

für die Temperatur,
das kleine

t

für die Zeit steht.

Auch die Bedeutung der Gleichung
dT

= k \cdot (T_{u} - T) \cdot d t

kann ich in diesem Zusammenhang zurecht legen.
Jetzt musst du eher (Trennung der Variablen)

>

alle Terme mit

T

auf die eine (sagen wir mal linke) Seite bringen,

>

alle Terme mit

t

auf die andere (sagen wir mal rechte) Seite bringen.
dT/(T_u-T)

= k \cdot d t

Wenn die Differenziale gleich sind, dann sind es auch die Integrale:

\int

dT/(T_u-T)

= \int k \cdot d t

Wer einen Hauch an Ahnung von Integralen hat, dem sollte zumindest die rechte Seite keine Schwierigkeiten bereiten:

\int

dT/(T_u-T)

= k \cdot t

Ein klein wenig mehr Ahnung von Integralen braucht's für die linke Seite, oder einen Blick in eine Integral-Tabelle:

- ln (T_{u} - T) + C = k \cdot t

ganze Gleichung plus ln(T_u-T)-kt :

C - k \cdot t = ln (T_{u} - T)

e^{C - k \cdot t} = T_{u} - T

ganze Gleichung plus

T - e^{...} :

T = T_{u} - e^{C - k \cdot t}

T = T_{u} - e^{C} \cdot e^{- k \cdot t}

Mittels Randbedingungen

T (t = 0) = T_{0}

kannst du dann die Konstante

C

bestimmen.
Damit kommst du endgültig auf:

T = T_{u} + (T_{0} - T_{u}) \cdot e^{- k \cdot t}

Nico-

16:27 Uhr, 06.08.2023

Danke!! :-)
Wie erwartet werde ich mir noch Einiges zu Differentialgleichungen und Integralen anschauen müssen, aber Deine Antwort hat mir dabei sehr geholfen und eine solide Grundlage für meine Recherchen gegeben :-D)
Vielen lieben Dank und noch einen schönen Tag

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