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Punkt in Abhängigkeit eines Winkels berechnen

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Vektor, Verschiebung, Winkel

Wakawaksa aktiv_icon

20:14 Uhr, 11.09.2016

Hallo Leute

Angenommen ich habe einen Punkt P1(0.42|87.62I-10) und möchte diesen an den Punkt P2(0.699|87.65I-10) verschieben.
Allerdings in Abhängigkeit von einem Winkel α.

Den Winkel

α

ermittle ich mit der Formel

: α = cos

−1(u⃗ ∘v⃗ ∣∣u⃗ ∣∣⋅∣∣v⃗ ∣∣)

Nachdem ich

α

ermittelt habe setze ich es in diese Formel ein

x 1 = 0.42

y 1 = 87.62

z 1 = - 10

x 2 = x 1 \cdot cos (α) - y 1 \cdot sin (α)

y 2 = y 1 \cdot cos (α) + x 1 \cdot sin (α)

z 2 = z 1

Jedoch bekomme ich für x2und

y 2

nicht die Koordinaten vom

P 2

raus. Voran könnte es liegen ?

Ich habe einen Denkfehler aber wo weiß ich nicht ganz genau, bedanke mich jetzt schon für euer Hilfe.

Viele Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Werner-Salomon aktiv_icon

20:50 Uhr, 11.09.2016

Hallo,

... das liegt schlicht daran, dass die Transformation, die Du verwendest, eine Drehung um den Ursprung ist. Da aber beide Punkte unterschiedliche Abstände zum Ursprung haben (

r_{1} \approx 87, 621

und

r_{2} \approx 87, 653

), so kannst Du sie nicht mit einer schlichten Drehung ineinander überführen.

Gruß
Werner

Wakawaksa aktiv_icon

20:53 Uhr, 11.09.2016

Habe im internet nachgesucht jedoch habe ich nichts gefunden was mich weiter bringt, was wäre möglich um mein Problem zu lösen ?
Besser gesagt nach was muss ich schauen, bisher habe ich nach der Rotation um den Ursprung geschaut.

Viele Grüße

Werner-Salomon aktiv_icon

21:03 Uhr, 11.09.2016

Um Dein Problem zu lösen, so solltest Du dieses zunächst beschreiben.
Was genau hast Du vor? Wie ist der Kontext Deines Problems?

Wakawaksa aktiv_icon

21:07 Uhr, 11.09.2016

Ich habe zwei Vektoren die in einem Raum liegen, in Z-Koordinate liegen diese aufeinander. Ziel meiner Aufgabe ist es mit einem Drehung um einen Winkel die Punkte aufeinander zu führen und das der Abstand zwischen diesen beiden Vektoren minimal wird. Daher dachte ich mir, das ich den Winkel von diesen Vektoren ermittle und dann mit einer einfachen Drehung um Z-Achse die Punkte aufeinander zuführen.

Werner-Salomon aktiv_icon

21:22 Uhr, 11.09.2016

Um dies zu erreichen, muss der Drehpunkt der Rotation in der Ebene liegen, die durch alle Mittelsenkrechten der Strecke

x_{1}

nach

x_{2}

gebildet wird.
Oder anders ausgedrückt - er muss in der Ebene liegen, die Senkrecht auf der Verbindungsstrecke der beiden Punkte steht und durch den Mittelpunkt der Strecke geht.

Der Mittelpunkt hat die Koordinaten (0,5595|87,635|-10). Dies wäre einer der unendliche vielen Kandidaten für den Drehpunkt.

Wakawaksa aktiv_icon

21:28 Uhr, 11.09.2016

Verstehe nicht allzu viel, wäre es möglich wenn du es mir mit einem einfachen Beispiel darstellst.
Ich würde es gerne verstehen .

Werner-Salomon aktiv_icon

21:44 Uhr, 11.09.2016

.. Hmh, ich bin mir nicht sicher, worauf Du am Ende hinaus willst. Wie schon gesagt, es wäre hilfreich, wenn Du den Kontext Deines Problems beschreiben würdest.

Ich versuche es mit einem Beispiel:
eine Drehung um einen Punkt

m

mit der Z-Achse als Drehachse sähe nummerisch so aus:

x_{2} = (x_{1} - m_{x}) \cdot \cos (α) - (y_{1} - m_{y}) \cdot \sin (α) + m_{x}

y_{2} = (x_{1} - m_{x}) \cdot \sin (α) + (y_{1} - m_{y}) \cdot \cos (α) + m_{y}

z_{2} = z_{2} - m_{z} + m_{z}

Ist

m

der Mittelpunkt der Verbindungsstrecke, so ist

α

=180° (

= π

). Dann vereinfacht sich alles zu:

x_{2} = (x_{1} - m_{x}) \cdot (- 1) - (y_{1} - m_{y}) \cdot 0 + m_{x} = 2 \cdot m_{x} - x_{1}

y_{2} = (x_{1} - m_{x}) \cdot 0 + (y_{1} - m_{y}) \cdot (- 1) + m_{y} = 2 \cdot m_{y} - y_{1}

z_{2} = z_{2} - m_{z} + m_{z} = z_{2}

aber irgendwie habe ich Gefühl, das bringt Dich nicht weiter!?

Gruß
Werner

Werner-Salomon aktiv_icon

22:17 Uhr, 11.09.2016

Die Frage, die ich mir stelle: Muss es unbedingt eine reine Drehung sein?

Sollten es mehr als ein Punkt sein, den Du von Position 1 nach Position 2 bringen musst, so könnte es sich um ein 'Best Fit'-Problem handeln, was man mit Ausgleichsrechnung lösen könnte (s. de.wikipedia.org/wiki/Ausgleichungsrechnung

Du könntest für jeden der Punkte eine Kombination von Verschiebung und Drehung definieren, und dann die Koeffizienten die die Verschiebung und Drehung beschreiben, so variieren, dass sie für alle Punkte passen - bzw. bestmöglich passen. Im Allgemeinen nimmt man hier die Methode der kleinsten Quadrate (s.: de.wikipedia.org/wiki/Methode_der_kleinsten_Quadrate).

Allerdings ist dies für den allgemeinen Fall im Raum sehr aufwendig. Wenn man sich bei der Drehung z.B. nur auf Drehungen um die Z-Achse beschränkt wird es ggf. einfacher.

Um wie viele Punkte geht es?

Gruß
Werner

Wakawaksa aktiv_icon

22:21 Uhr, 11.09.2016

Es handelt sich um

300

Punkte die im Raum liegen. Wir können uns aber auch nur auf

10

punkte beschränken.
Wichtig ist es halt nur das es an den oben genannten punkten sehr nah wie möglich aneinander liegen.

ledum aktiv_icon

15:25 Uhr, 12.09.2016

Hallo
due kannst 1 Punkt durch Drehung um eine bestimmte Achse auf einen andern bewegen, einen dritten dann aber mit derselben Drehung nicht
dein Satz “ Wichtig ist es halt nur das es an den oben genannten punkten sehr nah wie möglich aneinander liegen."
ist recht unverständlich was ist "es" das nahe aneinander liegen soll?
vielleicht nennst du mal dein eigentliches genaues Problem bzw Ziel was du mit den

10

Punkten erreichen willst.
Gruß ledum

Wakawaksa aktiv_icon

19:40 Uhr, 12.09.2016

Ok, ich habe in einem Raum

10

punkte von der Funktion

f (x, y, z)

und

10

Punkte von der Funktion

g (x, y, z)

. Jetzt ist es meine ziel das ich den kleinsten abstand ermittle und danach diese um einen bestimmten punkte aneinander verdrehen falls der abstand zwischen den beiden punkten nicht klein genug ist. Ziel ist es das ich von den gesamten punkten an einem Punkt so nah wie möglich an null bin.So das diese sich berühren.

Werner-Salomon aktiv_icon

20:46 Uhr, 12.09.2016

Hallo,

Noch mal ein paar Fragen um die Aufgabenstellung zu präzisieren:

- Muss es unbedingt und ausschließlich eine Drehung sein?
- Geschieht die Drehung (mit oder ohne Verschiebung) immer um die Z-Achse?
- Ist es das Ziel genau einen der 10 (oder

n

) Punkte möglichst dicht zusammen zu bringen oder sollen alle Punkte möglichst dicht liegen (z.B. Summe der Quadrate aller Abstände minimieren)?
- wenn es nur ein Punkt ist, ist dann der Näherungspunkt ein bestimmter der 10 anderen oder kann es jeder der 10 (oder mehr) sein?
- meinst Du eine Funktion

F = f (x, y, z)

oder eine Funktion

z = f (x, y)

?

Gruß
Werner

Wakawaksa aktiv_icon

21:02 Uhr, 12.09.2016

Hallo Werner,

- Muss es unbedingt und ausschließlich eine Drehung sein?
Nein es muss nicht unbedingt eine Drehung sein, wichtig ist es das am ende die Punkte sehr nah aneinander liegen oder auch übereinander

- Geschieht die Drehung (mit oder ohne Verschiebung) immer um die Z-Achse?
Die Drehung habe ich nach der Z-Achse gewählt. Die Z-Koordinaten von meinen Punkten sind immer identisch. Nur in

x

und

y

Koordinaten unterscheiden sie sich.

- Ist es das Ziel genau einen der

10

(oder

n)

Punkte möglichst dicht zusammen zu bringen oder sollen alle Punkte möglichst dicht liegen

(z . B

. Summe der Quadrate aller Abstände minimieren)?

Stell dir zwei Teppiche vor, die aufeinander liegen nun möchtest du die beiden Teppiche so nah aneinander bringen um den ersten berührpunkt zwischen diesen zu ermitteln.Ich habe nur die Koordinaten von den Punkten der Teppiche, sozusagen habe ich eine Punktwolke.

- wenn es nur ein Punkt ist, ist dann der Näherungspunkt ein bestimmter der

10

anderen oder kann es jeder der

10

(oder mehr) sein?
Nur ein bestimmter Punkt, den diesen Punkt ermittle ich vorher.

- meinst Du eine Funktion

F = f (x, y, z)

oder eine Funktion

z = f (x, y)

?
Ich habe mehrere Formeln gegeben die miteinander gekoppelt sind und am ende ermittle ich die

X, Y

und

Z

Koordinaten.

Viele Grüße

Werner-Salomon aktiv_icon

21:16 Uhr, 12.09.2016

.. also ich halte noch mal fest. Da ist ein ebenes Problem, da die Z-Koordinaten eh' übereinstimmen, kann man sie auch vergessen.
Du willst eine der Punktwolken bestehend aus

n

Punkten

p_{i}

mit

i = [1 . . n]

drehen/verschieben, so dass genau ein bestimmter Punkt

p_{k}

möglichst dicht oder besser auf einem anderen (vorher bestimmten) Punkt

q_{k}

zu liegen kommt.

Dann verschiebe doch einfach die Punktwolke mit den

p_{i}

um den Betrag

q_{k} - p_{k}

; und schon ist Deine Anforderung erfüllt .. oder?

Nachgefragt: bilden die Punkte einer Punktwolke ein geschlossenes womöglich konvexes Polygon?

Musst Du das ganze am Ende in ein Computerprogramm integrieren?

Gruß
Werner

Wakawaksa aktiv_icon

21:27 Uhr, 12.09.2016

Nachgefragt: bilden die Punkte einer Punktwolke ein geschlossenes womöglich konvexes Polygon?
Ja, die Punktwolken bilden ein konvexes Polygon.

Musst Du das ganze am Ende in ein Computerprogramm integrieren?
Jap , muss ich machen.

Viele Grüße

Werner-Salomon aktiv_icon

21:29 Uhr, 12.09.2016

Ja - das roch so nach Kollisionsbestimmung (Spieleprogrammierung?).

Ist jetzt das einfache

q_{k} - p_{k}

die Lösung?

Wakawaksa aktiv_icon

21:16 Uhr, 16.09.2016

hat sich geklärt

Werner-Salomon aktiv_icon

21:56 Uhr, 16.09.2016

Puh! Das ist ein Widerspruch zu dem was Du vorher geschrieben hast. Es ist ein Riesenunterschied ob Du einen (Rand)Punkt mit einem anderen zusammen bringen willst - das entspräche einer Kollision oder ob Du viele Punkte quasi zur Deckung bringen willst. Letzteres wäre eine Ausgleichsrechnung bzw. ein Best- Fit-Problem.

Weiter wäre es sehr hilfreich, wenn Du uns den Kontext beschreiben würdest, in dem dieses Problem eingebettet ist.

Ich melde mich am Montag nochmal. Z.Zt. Bin ich nur bedingt online.

Gruß
Werner

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