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Quotientenkriterium bei einer Potenzreihe anwenden
Universität / Fachhochschule
Tags: Grenzwert, Konvergenz, Konvergenzradius, lim, Quotientenkriterium
 
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Hallo zusammen, im Anhang ist die Aufgabenstellung. Meine Frage bezieht sich nur auf Aufgabenteil . Ich habe die Aufgabe gerechnet und bin nun ein wenig verwirrt. Mit dem Quotientenkriterium |a(n+1)/an| habe ich den Grenzwert erhalten. Nun sehe ich bei der Lösung, dass statt dem üblichen |a(n+1)/an| jetzt |an/a(n+1)| verwendet worden ist und somit der Grenzwert 6 lautet. Kann mir jemand erklären wieso das nun umgedreht wurde? Ich bin für jede Hilfe dankbar.  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff) Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff) Wichtige Grenzwerte Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Ableiten mit der h-Methode Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen Grenzwerte im Unendlichen e-Funktion |
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Kann es sein, dass du das Quotientenkriterium zur Feststellung der Konvergenz mit der Formel zur Berechnung des Konvergenzradius verwechselst? |
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Danke für die Antwort. Also mit der Formel an+1/ an bekomme ich doch den Grenzwert der Folge oder? Den Radius erhalte ich dann mit also mit meiner Lösung . Kann man also zur Bestimmung des Radius direkt an/an+1 benutzen? Ist das dann der Wert gegen den die Folge konvergiert? Oder doch der Grenzwert? |
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Da hast du was falsch verstanden! Den Grenzwert bekommst du so überhaupt nicht! Beim Quotientenkriterium betrachtest du nur den Grenzwert des Quotienten aufeinanderfolgender Glieder eine aus Skalaren bestehenden Reihe und wenn der kleiner als 1 ist, dann ist die Reihe konvergent. Gegen welchen Wert sie da konvergiert, weißt du deshalb aber noch lange nicht und das ist auch nicht immer bestimmbar. Deine Reihe konvergiert (wenn sie für ein bestimmtes konvergent ist) gegen den Polylogarithmus und der ist im Grunde nur eine Abkürzung für eine genau so aufgebaute Reihe . Bei einer Potenzreihe hängt es von der Variablen ab, ob die Reihe, die sich für ein bestimmtes einstellt, konvergent ist. Über das Quotientenkriterium kommt man dann zur Bestimmung des Konvergenzradius als Grenzwert des Kehrwerts des obigen Quotienten. Und die Ränder muss man gesondert untersuchen, weil ja auch das Quotientenkriterium keine Aussage liefert, wenn dort der Grenzwert 1 ist. Und auch bei Potenzreihen wird nichts darüber ausgesagt, gegen welchen Wert eine konvergente Reihe strebt, sondern nur, dass die Reihe konvergent ist, wenn sich innerhalb der Konvergenzradius (um den Entwicklungspunkt herum) befindet. |
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Danke für die Antwort. Dann bin ich falsch vorgegangen. Da mein Wert bei liegt und kleiner als 1 konvergiert es. Dann muss ich nur den Grenzwertradius mit ausrechnen und die Grenzwerte oben bestimmen. Muss man bei Aufgaben, bei der man die Konvergenz/Divergenz und ggf. den Grenzwert bestimmen muss so vorgehen? Also als erstes untersuche ich die Konvergenz mit den jeweiligen Kriterien. Falls eine Konvergenz vorliegt, dann untersuche ich den Grenzwert mittels ausklammern des höchsten Exponenten oder l'Hospital, richtig? |
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Da mein Wert bei liegt und kleiner als 1 konvergiert es. Nein. Das Quotientenkriterium gilt für Reihen mit skalaren Summanden, also ohne variable . Im Falle deiner Potenzreihe hängt die Konvergenz davon ab, welchen Wert du für einsetzt. Und um festzustellen, für welche die Potenzreihe konvergent ist, bestimmst du den Konvergenzradius. Eine von mehreren Möglichkeiten dafür ist eben . Setzt man x-Werte ein, die in dieser Umgebung um den Entwicklungspunkt (bei dir liegen, dann kommt beim Quotientenkriterium ein Wert kleiner als 1 raus und wir haben Konvergenz. In deinem Fall bekommst du raus und somit ist die Reihe sicher konvergent für jedes . Ungeklärt ist nun noch, wie es an den Randstellen und selbst aussieht. Dort würde das Quotientenkriterium 1 liefern und somit keine Aussage. Daher müssen die beiden Reihen, die sich für und ergeben, gesondert auf Konvergenz hin untersucht werden. In deinem Fall folgt einmal die Konvergenz nach Leibniz (alternierend und die Glieder bilden eine Nullfolge) und die Reihe für wurde, wie ich deiner Musterlösung entnehme, schon einmal gesondert in der Vorlesung als konvergent erkannt. Muss man bei Aufgaben, bei der man die Konvergenz/Divergenz und ggf. den Grenzwert bestimmen muss so vorgehen? Du musst vor allem lernen zu unterscheiden zwischen "normalen" Reihen, bei denen die Summanden einfach bestimmte Werte sind und Potenzreihen, bei denen diese Werte noch von (Potenzen von) abhängen. Nur im zweiten Fall gibts den Begriff des Konvergenzradius, denn du hast ja im Grunde unendlich viele Reihen (für jedes eine andere) da stehen. dann untersuche ich den Grenzwert mittels ausklammern des höchsten Exponenten oder l'Hospital, Wenns denn so einfach wäre! Die Regel von de l'Hôspital kann außerdem nur helfen, den Grenzwert von bestimmten Termen zu ermitteln, nicht aber jenen von Reihen. Die Grenzwerte selbst zu ermitteln ist bei dieser Aufgabe nicht verlangt und wie schon gesagt ist das auch sehr oft gar nicht möglich oder nur mit viel Aufwand. Man weiß also oft nur, dass die Reihe für gewisse x-Werte konvergent ist, aber man hat keine Ahnung gegen welchen Wert. |
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Danke!! Ich denke langsam verstehe ich es. Also bei einer Potenzreihe muss ich erstmal den Konvergenzradius bestimmen (an+1/an) und bekomme dann einen Wert raus, mit den ich dann die Randwerte berechne. Die 2 Randwerte setze ich dann oben in die Reihe ein und muss für jeden Randwert einzeln die Konvergenz untersuchen (mit den jeweiligen Konvergenzkriterien (Leibniz, Majoranten, Quotienten etc.)) Was ist nun wenn einer der Werte eine Konvergenz aufzeigt und der andere nicht? Die Regel von l'Hospital wende ich dann grundsätzlich bei der Grenzwertbestimmung von Funktionen oder Folgen an, richtig? Vielen Dank nochmal für die Mühe. |
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Hallo es kommt sogar häufig vor, dass eine Reihe an einem Ende des Konvergenzradius konvergiert, am anderen nicht. Man schreibt einfach auf, für welche die Reihe konvergiert. Den Wert der Reihe kann man oft nicht explizit angeben. der Grenzwert von Funktionen hat damit nichts zu tun, es sei denn, die Funktion ist durch eine Reihe gegeben. L'Hopital verwendet man für die Falle bei denen für entweder oder stünde. Gruß ledum |
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Vielen Dank, jetzt habe ich das endlich verstanden! Ich habe noch eine Frage zu dieser Aufgabe (Anhang). Muss ich hier den Zähler irgendwie umformen, damit ich sowas wie bekomme?  |
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Hallo aus der Summe rausziehen, Konvergenzradius für und bestimmen Gruß ledum |
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Danke für die Antwort. ist hier nur möglich, da das in der Klammer quadriert wurde, oder? Würde nicht stimmen? Das ist ja dann umgeschrieben: Wenn ich jetzt nur den ersten Teil betrachte kann ich ihn ja so umschreiben. Ich verstehe noch nicht ganz wie du hier auf an= kommst und wie aus die n-te Potenz verschwindet. Gruß Connor |
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Die 2 Randwerte setze ich dann oben in die Reihe ein und muss für jeden Randwert einzeln die Konvergenz untersuchen (mit den jeweiligen Konvergenzkriterien (Leibniz, Majoranten, Quotienten etc.)) Fast! Das Quotientenkriterium kannst du an den Rändern vergessen, denn da kommt unter Garantie immer 1 raus und somit ist nach wie vor unklar, ob Konnvergenz vorliegt oder nicht. Was ist nun wenn einer der Werte eine Konvergenz aufzeigt und der andere nicht? Kommt oft genug vor. Dann ist dein Konvergenzbereich eben ein halboffenes Intervall - eine Grenze gehört dazu, die andere nicht. Die Regel von l'Hospital wende ich dann grundsätzlich bei der Grenzwertbestimmung von Funktionen oder Folgen an, richtig? Naja, "grundsätzlich" würde ich jetzt nicht sagen. ,Hôspital ist gewissermaßen ein Holzhammer, mit dem man sehr, sehr viele Grenzwerte "erschlagen" kann. Eine plumpe Methode, sozusagen, und deswegen sehr oft bei Übungsbeisielen explizit ausgeschlossen. Auch wäre es zB nicht sinnvoll, den Genzwert mit de l'Hôspital zu ermitteln. Denn um die Ableitung von durch Übergang vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten herzuleiten, benötigt man diesen Grenzwert. Man kann ihn daher nicht berechnen und dabei bereits die Ableitung von vorweg nehmen. Man muss sich daher für diesen Grenzwert was andres einfallen lassen. Würde nicht stimmen? Nein, nicht immer. Nur für gerade . Für ungerade gilt . zB: aber . |
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Vielen Dank! |
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