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Rechteck mit Halbkreis Volumen Umfang und Fläche

Schüler Berufskolleg, 12. Klassenstufe

Tags: Kreis, Rechteck

rick84 aktiv_icon

22:15 Uhr, 02.05.2008

Hallo..

ich hab am nächsten Freitag meine Abschlussprüfung und brauche eure hilfe zu folgende Aufgabe.. allerdings brauche ich die Lösung mit allen Zwischenschritten..
Und wäre schön wenn es schnell gehn könnte brauche die lösung dringend..

also die Aufgabe sieht wie folgt aus..

Die Grundfläche "A" einer Ausstellungshalle setzt sich aus einem Rechteck mit den Maßen "a" und "b" und einem Halbkreis mit dem Durchmesser "a" zusammen. Der Gesamtumfang "U" der Halle soll 400m betragen

unter der Grafik steht dann:

Welche Abmessungen "a" und "b" in "m" sind festzusetzsen, wenn das Volumen "V" der Halle mit h= 4m maximal sein soll?

wie groß ist das Hallenvolumen m^3....

bitte bitte dringend..und schnell..

Mfg

rick......

Hierzu passend bei OnlineMathe:
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Kreis (Mathematischer Grundbegriff)
Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff)
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und was bringt sie mir?

Dravo5 aktiv_icon

22:49 Uhr, 02.05.2008

Ok, ich mach dann mal^^

Also, wenn das Volumen maximal wird, dann ist auch die Fläche maximal, deswegen werd ich auch dort das Maximum errechnen

und das errechnet sich wie folgt:

A (a, b) = a \cdot b + \frac{1}{2} \cdot Π \cdot \frac{a^{2}}{4}

A (a, b) = a \cdot b + \frac{Π}{8} \cdot a^{2}

Das

a \cdot b

ist das Rechteck, der Rest der Halbkreis
Das war die Hauptbedingung

Nun folgt die Nebenbedingung

U = 400

U = a + 2 \cdot b + \frac{1}{2} \cdot Π \cdot a

400 = a + 2 \cdot b + \frac{1}{2} \cdot Π \cdot a

Das stell ich mal nach

b

um:

b = 200 - \frac{1}{2} \cdot a - \frac{1}{4} \cdot Π \cdot a \to a

ausklammern

b = 200 - (\frac{1}{2} + \frac{Π}{4}) a

Und das setzen wir in unsere Hauptbedingung ein, so entsteht eine Zielfunktion

A (a) = a \cdot [200 - (\frac{1}{2} + \frac{Π}{4}) a] + \frac{Π}{8} \cdot a^{2}

A (a) = 200 a - (\frac{1}{2} + \frac{Π}{4}) a^{2} + \frac{Π}{8} \cdot a^{2}

A (a) = 200 a - (\frac{1}{2} + \frac{Π}{4} - \frac{Π}{8}) \cdot a^{2}

A (a) = 200 a - (\frac{1}{2} + \frac{Π}{8}) \cdot a^{2}

A (a) = 200 a - \frac{1}{2} (1 + \frac{Π}{4}) \cdot a^{2}

Nun bilden wir 2 Ableitungen

A' (a) = 200 - (1 + \frac{Π}{4}) a

A'' (a) = - (1 + \frac{Π}{4}) = - 1,79

notwendige Bedingung:

A' (a) = 0

0 = 200 - (1 + \frac{Π}{4}) a

(1 + \frac{Π}{4}) a = 200

a = \frac{200}{1 + \frac{Π}{4}}

a = 112,02

hinreichende Bedingung:

A'' (112,02) = - 1,79 < 0 \to

Maximum

b = 200 - (\frac{1}{2} + \frac{Π}{4}) a

b = 200 - (\frac{1}{2} + \frac{Π}{4}) \cdot \frac{200}{1 + \frac{Π}{4}}

b = 56,01

und das Volumen ist halt nur noch die Grundfläche mal die Höhe, die Grundfläche errechne ich auch gleich nochmal mit

A (a) = 200 a - \frac{1}{2} (1 + \frac{Π}{4}) \cdot a^{2}

A (112,02) = 200 \cdot 112,02 - \frac{1}{2} (1 + \frac{Π}{4}) \cdot {112,02}^{2}

A = 11201,95

V = A \cdot h

V = 11201,95 \cdot 4

V = 44807,80

also nochmal zusammengefasst:

a = 112,02 m

b = 56,01 m

V = 44807,80 m^{3}

Ich wünsch dir dann noch viel Glück bei deiner Arbeit

;)

MBler07 aktiv_icon

22:50 Uhr, 02.05.2008

Hi

dann gibts auch erstmal eine schnelle Antwort. Wenn du was nicht verstehst, kannst du dich ja noch mal melden.

Der Umfang setzt sich aus einem Halbkreis, seinem Durchmesser und den beiden Rechteckseiten zusammen:

U = \frac{1}{2} \cdot π \cdot a + a + 2 \cdot b = 400

das Volumen (die Extremal-/hauptbedingung) ist die Grundfläche mal die Höhe:

V = (\frac{1}{2} \cdot π \cdot {(\frac{a}{2})}^{2} + a \cdot b) \cdot h

Die Nebenbedingung muss jetzt nach einer Variable umgestellt werden und in die Hauptbedingung eingesetzt werden:

b = \frac{400 - \frac{1}{2} \cdot π \cdot a - a}{2}

\to V = (\frac{1}{2} \cdot π \cdot {(\frac{a}{2})}^{2} + a \cdot (\frac{400 - \frac{1}{2} \cdot π \cdot a - a}{2})) \cdot h

V = (a^{2} (- \frac{1}{8} \cdot π + \frac{1}{2}) + 200 \cdot a) \cdot h

Und dann nach Standardverfahren:
1. Ableitung:

V' (a) = 800 - a \cdot (π + 4

)

V' (a) = 0 \to a = 112,02

V'' (a) = - π - 4 < 0 \to

Maximum

In die Ausganggsgleichung eingesetzt:

b = 56,04

damit ergibt sich für das Volumen:

V = 44792,07

Du solltest aber alles nachvollziehen. Rechenfehler kommen immer mal wieder vor.

Grüße

rick84 aktiv_icon

23:09 Uhr, 02.05.2008

vielen dank leute..

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