Referat: Beweis für den Grenzwert eulersche Zahl

Danke für die schnelle Antwort. Ich habe inzwischen auch ein Buch gefunden "Die Zahl e - Geschichte und Geschichten" von Eli Maor, in dem unter dem Kapitel "Rechnen mit Logarithmen" ein Untertitel zu finden ist, der lautet: "Bis zum Grenzwert - wenn es ihn gibt".
Die Aufgabenstellung ist wahrscheinlich wirklich ungeschickt forumliert. Ich denke, dass mein Lehrer von mir will, dass ich eine Grenzwertberechnung vorstelle mit der man möglichst nah an e herankommt.

Mein Problem ist inzwischen auch nicht mehr die Beschaffung von Quellen, sondern die Erschliessung des Themas.

Hierzu:
Ich habe das allseits bekannte Beispiel zur Annäherung an e den Ausdruck

${\displaystyle {(1+\frac{1}{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}})}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

gefunden. Es wird erklärt, dass man diesen Ausdruck als ein Binom behandelt und es wird zur Errechnung der Koeefizienten folgende Formel aufgestellt:

${\displaystyle {\mathrm{C<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\frac{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}!}{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}!(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>})!}}$

Daraufhin wird folgendes Beispiel angeführt: ${\displaystyle {(\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}^4={\mathrm{C<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0^4=\frac{4!}{(0!\times 4!)}=1,{\mathrm{C<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1^4=\frac{4!}{(1!\times 3!)}=4\mathrm{...}}$

Als Lösungen erhält man, wie fürs 1, 4, 6, 1. Soweit alles klar. Nun folgt eine Umformung dieser Rechnung:

${\displaystyle {\mathrm{C<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\frac{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\times (\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1)\times (\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2)\times \mathrm{...}\times (\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1)}{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}!}}$

Da gingen bei mir alle Lichter aus. Ich kann diese Umformung weder nachvollziehen, noch kommen bei mir die richtigen Ergebnisse raus, wenn ich versuche sie anzuwenden.

Wäre denn bei selbigem Beispiel der erste Koeffizient laut dieser Regel nicht

${\displaystyle {\mathrm{C<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0^4=\frac{4\times 3\times 2\times 1}{1}=24?}$

Überdies verstehe ich genauso wenig die Anwendung dieser Regel auf das Binom ${\displaystyle {(1+\frac{1}{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}})}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$.

Im Buch (und auch in der .pdf-File von Wikipedia) sieht diese Anwendung so aus:

${\displaystyle {(1+\frac{1}{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}})}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=1+\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\times \left(\frac{1}{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right)+\frac{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\times (\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1)}{2!}\times {\left(\frac{1}{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right)}^2+\frac{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\times (\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1)\times (\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2)}{3!}\times {\left(\frac{1}{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right)}^3+\mathrm{...}+{\left(\frac{1}{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right)}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$.

Das die Koeffizienten für a (=1)und b(=1/n) am Anfang und Ende jeweils jeweils 1 und 0 bzw. 0 und 1 sein müssen ist mir zwar klar, aber ich kann nicht nachvollziehen, wie man über diese Formel darauf kommt.

Könnte mir jemand diesen logischen Schritt und die Anwendung auf das Binom ${\displaystyle {(1+\frac{1}{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}})}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ ausführlich/verständlich erklären? Ich scheine mächtig auf dem Schlauch zu stehen.

Mit freundlichen Grüßen,

DaSchnulf

Hi,

Danke erstmal für die schnelle Antwort und die gute Erläuterung. Ich habe aber immer noch nicht alles verstanden.

Zitat:

${\displaystyle {\mathrm{C<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\frac{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}!}{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}!(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>})!}=\frac{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\times (\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1)\mathrm{...}(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1)}{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}!}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Da wurde einfach (n-k)! aus n! gekürzt. Da bleiben nur noch die Faktoren (n-k+1),…,n im Zähler stehen.

Das ist für mich nicht ganz nachvollziehbar. Ich meine zwar verstehen zu können, dass (n-k) auch irgendwann unter n! auftauchen muss, da n ja alle möglichen natürlichen Zahlen umfasst, aber selbst wenn man dieses rauskürzt, wieso bleibt dann im Zähler ${\displaystyle \mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\times (\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1)\mathrm{...}(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1)}$ stehen? Ist dieser Übergang vielleicht noch kleinschrittiger darstellbar?

Mein zweites Problem:

Zitat:

Bei ${\displaystyle {\mathrm{C<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0^4}$ ist mit n=4, k=0 nun (n-k+1)=4+1 und im Zähler steht sozusagen ein leeres Produkt, dies ist per Konvention 1.

Ich dachte, dass im Zähler (n-k+1), in diesem Fall also 4+1 und da k=0 im Nenner 0!=1 stünde, also ${\displaystyle \frac{5}{1}=5}$ ergibt. Dass ${\displaystyle {\mathrm{C<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=1}$ ergibt, finde ich nachvollziehbar, aber warum ist ${\displaystyle {\mathrm{C<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}={\mathrm{C<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=1?}$

Mit freundlichen Grüßen,

DaSchnulf