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Reihe über Grenzwertkriterium - absolut?

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Grenzwerte

Tags: Folgen, Grenzwert, Reihen

student11 aktiv_icon

21:13 Uhr, 21.06.2012

Hallo zusammen..

Ich betrachte die Reihe

\sum {(- 1)}^{k} \frac{k + 2 \cdot \sqrt{k}}{k^{2} + 4 k + 3} = \sum a_{n}

Da - wenn ich das auf den ersten Blick richtig sehe - sowohl das Wurzel- wie auch das Quotientenkriterium 1 liefern wird, musste ich mir was anderes einfallen lassen..

Ich versuchte es mit dem Grenzwertkriterium (weiss nicht, ob allen klar ist, was ich damit meine, weiss nicht wie verbreitet dieser Name für dieses Kriterium ist..)

Ich nehme eine Folge

b_{k},

wenn

\frac{a_{k}}{b_{k}} \to 1,

dann haben die Reihen über

a_{k}

und

b_{k}

dasselbe Konvergenzverhalten. Nun zu meiner Frage: Gilt das auch für absolute Konvergenz? Denn ich bin auf gewisse Schwierigkeiten gestossen..

Man sieht, dass die Folge Ähnlichkeiten hat mit

\frac{1}{k},

da aber noch der alternierende Faktor da ist, dachte ich mir, ich vergleichs mal mit der alternierenden harmonischen Reihe..

also:

\frac{a_{k}}{\frac{{(- 1)}^{k}}{k}} \to 1

(wenn ich da alles richtig gerechnet habe..)
Also sollte ja

\sum a_{k}

dasselbe Verhalten haben wie

b_{k},

dachte also, dass also meine Reihe nur konvergent, aber nicht absolut konvergent sei.. In der Lösung steht aber, sie sei absolut konvergent...

Kann mich jemand auf meinen Fehler / Fehlüberlegung hinweisen?

Vielen Dank

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
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Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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student11 aktiv_icon

21:17 Uhr, 21.06.2012

Ach, ich glaube ich hab meinen Fehler gefunden..

http//de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzkriterium

Das Grenzwertkriterium macht keine Aussagen über absolute Konvergenz, richtig?

Ebenso wie das Integralkriterium auch nicht?

Aber aus obiger Rechnung kann ich schliessen, dass

\sum a_{k}

konvergiert, ich weiss nur noch nicht, ob absolut oder nicht, für das müsste ich mir noch was anderes einfallen lassen.. ?

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21:39 Uhr, 21.06.2012

Hier würde sich doch sofort das Leibniz-Kriterium anbieten: de.wikipedia.org/wiki/Leibniz-Kriterium

edit: Wenn dich nur die absolute Konvergenz interessiert, hilft das aber natürlich nichts...

student11 aktiv_icon

21:43 Uhr, 21.06.2012

Ach ja das Leibniz-Kriterium.. das gäbe es ja auch noch.. Lustig ist nur, dass wir in der Vorlesung eigentlich nur Quotienten- und Wurzelkriterium betrachtet haben (und natürlich Majoranten/Minoranten), obwohl QK und WK selten weiterhelfen bei den Aufgaben.. :-D)

Habe es übrigens jetzt anders lösen können.
Wenn man ja an absoluter Konvergenz interessiert ist, bietet es sich besonders an, einfach mal den Betrag zu betrachten.. DEn kann man dann nach oben abschätzen durch

\frac{1}{k^{2}}

und hat so eine Majorante gefunden..

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21:46 Uhr, 21.06.2012

Wie hast du denn das hingekriegt? Ich sehe nicht, wie man die Reihe mit 1/k^2 abschätzen kann.

student11 aktiv_icon

21:50 Uhr, 21.06.2012

Versuche es mal, ich hoffe, habe nichts falsch gemacht..

\frac{{(- 1)}^{k} \cdot (k + 1) - cos (k \cdot π) \cdot (k + 3)}{k^{2} + 6 k + 6} = {(- 1)}^{k} \cdot \frac{(k + 1) - (k + 3)}{k^{2} + 6 k + 6}

Nun den Betrag davon nehmen:

\frac{| k + 1 - (k + 3) |}{k^{2} + 6 k + 6} = \frac{2}{k^{2} + 6 k + 6} \leq \frac{2}{k^{2}} = 2 \cdot \frac{1}{k^{2}}

Bin mir nicht sicher, ob der erste Schritt so erlaubt ist, mit dem

{(- 1)}^{k}

ausklammern..

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21:55 Uhr, 21.06.2012

Also ich sehe nicht, was das mit der Reihe aus dem ersten Post zu tun haben soll, da war doch noch so ein

\sqrt{k}

drin, bei dir kommt aber auf einmal ein Kosinus...

student11 aktiv_icon

21:56 Uhr, 21.06.2012

Sorry, ich arbeite gerade parallel an mehreren Aufgaben..

In meinem Lösungsbuch steht zu dieser Aufgabe eine Abschätzung mit

{(\frac{1}{k})}^{\frac{3}{2}}

,was ja auch konvergent ist, da

\frac{3}{2} > 1

. Ich nehme an, wie sie auf das kommen, ist dir klar? (Du hast dich nur gewundert, wie ich es mit

\frac{1}{n^{2}}

schaffe? :-) )

Zur anderen: könnte man so argumentieren?

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21:58 Uhr, 21.06.2012

Ja, die schaut gut aus. :-)

edit: Ja, die Abschätzung mit

1 / k^{3 / 2}

funktioniert, nur die mit

1 / k^{2}

war mir etwas schleierhaft.

student11 aktiv_icon

22:01 Uhr, 21.06.2012

Vielen Dank für deine Hilfe, habe die "Lösung" zur eigentlichen Aufgabe im obigen Post noch hinzugefügt..

Wenn du eine ausführlichere Antwort wünschst, kann ich sie dir jederzeit geben, habe die Musterlösungen vor mir.. :-D)

(die hatte ich vorher noch nicht gesehen..)

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