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Scheitelpunktform/Linearfaktordarstellung

Schüler Fachoberschulen, 11. Klassenstufe

Tags: LFD, Quadratische Ergänzung, Quadratische Funktion, SPF

Pogona aktiv_icon

13:11 Uhr, 11.04.2011

Hallo,
wir sollen über die Ferien ein Arbeitsblatt bearbeiten, dies ist zu Quadratischen Funktionen.Da wir aber noch nichts besprochen haben, hätte ich ein paar Fragen.

f (x) =

3x²15x+18

| : 3

f (x) =

x²-5x+6

wie ich die Nullstellen ausrechne weiß ich aber ich benötige die Linearfaktordarstellung und die Scheitelpunktform ich weiß das es irgendetwas mit der quadratischen Errgänzung zu tun hat und habe mir das hier auch einmal durchgelesen, nur ich weiß wirklich nichtmehr wie ich darauf komme.

Danke für eure Hilfe

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Aus Funktionsgleichung Skizze erkennen
Aus Skizze Funktionsgleichung ablesen
Scheitelpunkt bestimmen (mit quadratischer Ergänzung)
Schnittpunkt mit der y-Achse bestimmen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Beispiele zur quadratischen Ergänzung

Wie findet man die quadratische Ergänzung?

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Für was stehen die Parameter der Scheitelpunktform einer Parabel?

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Wie löst man eine quadratische Gleichung?

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Zu einer Parabel die Funktionsgleichung bestimmen

Wie bestimmt man zu einer gegebenen Parabel die Funktionsgleichung?

Edddi aktiv_icon

13:48 Uhr, 11.04.2011

y = 3 \cdot x^{2} - 15 \cdot x + 18

Nullstellenberechneung durch quadr. Ergänzung:

3 \cdot x^{2} - 15 \cdot x + 18 = 0 | : 3

x^{2} - 5 \cdot x + 6 = 0 | + {(\frac{5}{2})}^{2} - {(\frac{5}{2})}^{2}

x^{2} - 5 \cdot x + {(\frac{5}{2})}^{2} - {(\frac{5}{2})}^{2} + 6 = 0

|Anw. der bin. Formel

[x^{2} - 5 \cdot x + {(\frac{5}{2})}^{2}] - {(\frac{5}{2})}^{2} + 6 = 0

{[x - \frac{5}{2}]}^{2} - {(\frac{5}{2})}^{2} + 6 = 0

{[x - \frac{5}{2}]}^{2} - \frac{25}{4} + \frac{24}{4} = 0

{[x - \frac{5}{2}]}^{2} - \frac{1}{4} = 0

{[x - \frac{5}{2}]}^{2} = \frac{1}{4}

x - \frac{5}{2} = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}

x_{1,2} = \frac{5}{2} \pm \frac{1}{2}

x_{1} = 3

und

x_{2} = 2

Mit diesen beiden Lösungen kannst du's dann in der linearen Form darstellen:

y = k \cdot (x - 3) \cdot (x - 2)

y = 3 \cdot (x - 3) \cdot (x - 2)

;-)

Pogona aktiv_icon

14:01 Uhr, 11.04.2011

würdest du mir vill eine erklärung dahinter schreiben

. .

. ich versteh nicht wie das mit dieser quatratischen ergänzung gehtmit dem

+ 2 - 2

oder so also wäre echt lieb wenn du mir das vill nochmal erklären könntest hab mir schon sämtliche seiten im internet angeguckt nur andscheinend bin ich zu blöd

. .

- . -

vielen dank :-)

Edddi aktiv_icon

15:20 Uhr, 11.04.2011

...machen wir's an einem einfachen Beispiel.

Voraussetzung ist die Kenntnis der bin. Formeln.

Es ist

{(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 \cdot a \cdot b + b^{2}

oder

{(x + b)}^{2} = x^{2} + 2 \cdot x \cdot b + b^{2}

kann man einfach durch ausmultiplizieren verstehen:

{(x + b)}^{2} = (x + b) \cdot (x + b) = x \cdot (x + b) + b \cdot (x + b)

= x^{2} + x \cdot b + b \cdot x + b^{2} = x^{2} \cdot 2 \cdot x \cdot b + b^{2}

...umgekehrt gilt's natürlich auch:

a^{2} \cdot 2 \cdot a \cdot b + b^{2} = {(a + b)}^{2}

bzw.

x^{2} \cdot 2 \cdot x \cdot b + b^{2} = {(x + b)}^{2}

So, und nun die quadr. Ergänzung an einem Zahlenbeispiel:

x^{2} + 3 \cdot x + 2 = 0

man addiert nun noch die Hälfte von 3 (dem Faktor vor

x)

zum Quadrat hinzu und zieht's dann auch gleich wieder ab (Erklärung folgt noch).
Damit ändert sich nichts an der Gleichung, da

+

irgendwas - irgendwas

= 0

x^{2} + 3 \cdot x + [{(\frac{3}{2})}^{2} - {(\frac{3}{2})}^{2}] + 2 = 0

...wenn man die Klammern nun weglässt, oder zur Übersichtlichkeit anders anordnet sieht's so aus:

[x^{2} + 3 \cdot x + {(\frac{3}{2})}^{2}] - {(\frac{3}{2})}^{2} + 2 = 0

...und nun hat der Term in der Klammer die Form, die wir oben in der bin. Formel hatten. Wir können also zusammenfassen in einen quadr. Term. Genau deswegen mussten wir mit dem Quadrat des halben Faktors erweitern!

Denn es ist:

[x^{2} + 3 \cdot x + {(\frac{3}{2})}^{2}] = {[x + \frac{3}{2}]}^{2}

Wir können nun statt:

[x^{2} + 3 \cdot x + {(\frac{3}{2})}^{2}] - {(\frac{3}{2})}^{2} + 2 = 0

folgendes schreiben:

{[x + \frac{3}{2}]}^{2} - {(\frac{3}{2})}^{2} + 2 = 0

...alles, was nicht in der Klammer steht, auf die andere Seite:

{[x + \frac{3}{2}]}^{2} = {(\frac{3}{2})}^{2} - 2

{[x + \frac{3}{2}]}^{2} = \frac{9}{4} - \frac{8}{4}

{[x + \frac{3}{2}]}^{2} = \frac{1}{4}

...nun wurzeln...

x + \frac{3}{2} = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}

...und nun denk' ich, sollt's unproblematisch sein, oder?

;-)

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