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Schräge Asymptote

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Grenzwerte

Tags: Funktionalanalysis, Grenzwert

orguggema aktiv_icon

13:17 Uhr, 20.09.2013

Hallo Jungs und Mädels,
es geht um die Berechnung einer schrägen Asymptote:
http//www.onlinemathe.de/forum/Berechnung-einer-schiefen-Asymptote

Dort wird die Funktion

f (x) = \frac{x^{2} - x + 1}{x - 1}

per Polynomdivision auf

x + \frac{1}{x - 1}

gebracht und die Funktion lehnt sich also ziemlich offensichtlich an

f (x) = x

an, da der Term

\frac{1}{x - 1}

in der Grenzwertbetrachtung gegen 0 strebt.

Nun habe ich instinktiv eine andere Herangehensweise gewählt, die für mich auf ein völlig plausibles aber leider falsches Ergebnis führt:

lim_{x \to \infty} f (x) = \frac{x^{2} - x + 1}{x - 1} = lim_{x \to \infty} \frac{x (x - 1 + \frac{1}{x})}{x (1 - \frac{1}{x})} = lim_{x \to \infty} \frac{x - 1 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{x - 1}{1} = lim_{x \to \infty} x - 1

Was ja nun bedeutet, dass die Funktion sich an

f (x) = x - 1

anlehnt, nicht an

f (x) = x

.
Wo ist der Denkfehler?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Asymptote (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

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herbert1 aktiv_icon

14:09 Uhr, 20.09.2013

Hallo,

wie kommst Du denn auf

lim . .

= lim \frac{x - 1}{1}

??

Ich habe fast den Eindurck, Du möchtest durch

\frac{1}{x}

"kürzen" bzw.

\frac{1}{x}

weglassen.
Im Zähler und Nenner stehen aber Summanden, keine Produkte.

Atlantik aktiv_icon

17:28 Uhr, 20.09.2013

Mit l´hopital:

lim_{x \to 00} \frac{x^{2} - x + 1}{x - 1} \to lim_{x \to 00} \frac{2 x - 1}{1} \to 00

mfG

Atlantik

herbert1 aktiv_icon

17:34 Uhr, 20.09.2013

ok, so ist das natürlich klar.

mein Fehler... sorry

herbert1 aktiv_icon

18:13 Uhr, 20.09.2013

Hallo orguggema,

meiner Meinung nach verwechselt Du etwas.

Die Polynomdivision stellt den Funktionsterm in anderer Form dar.
Anhand dieses Terms kannst Du die schräge Asymptote ablesen

g (x) = x

.
Das hast Du ja auch richtig erkannt.

Bei der Grenzwertbetrachtung untersuchst Du nur das Verhalten von

f

für immer größer werdende

x

. Für solche

x

streben die Funktionswerte gegen unendlich.

Auch wenn Atlantik die Gültigkeit der Umformung klargestellt hat (mit de l'hospital),
so solltest Du Deine vorletzte Umformung

(lim . .

. ) nochmals prüfen.

orguggema aktiv_icon

00:11 Uhr, 21.09.2013

Also dass die Funktion für

x \to \infty

nach

\infty

strebt ist ja wohl klar, es geht ja auch um schräge Asymptoten. Danke für die Info. o.O

Was genau an meiner letzten oder an irgendeiner Umformung falsch ist, ist ja genau das was ich gerne gewusst hätte. Der Vorschlag hilft mir also sehr weiter. Ich bin eigentlich ziemlich sicher, dass ich nichts falsch umgeformt habe.
Ich will nicht durch

\frac{1}{x}

kürzen, aber natürlich weglassen. Schließlich ist das ein Term der in der Grenzwertbetrachtung gegen 0 geht.
Der Zähler

x - 1 + \frac{1}{x}

geht gegen

x - 1

und der Nenner

1 - \frac{1}{x}

geht gegen 1. Also geht der Term gegen

\frac{x - 1}{1} = x - 1

. Aber nach der Polynomdivision tut er das ja offensichtich nicht, also was genau ist falsch an meiner Überlegung?

Ma-Ma aktiv_icon

00:14 Uhr, 21.09.2013

Grenzwert einer Funktion ist nicht identisch mit Asymptote.

orguggema aktiv_icon

00:15 Uhr, 21.09.2013

Aber schon so ziemlich doch, oder? :-D)

Ma-Ma aktiv_icon

00:18 Uhr, 21.09.2013

Am besten, Du liest Dir nochmal die Definitionen für Asymptote und Grenzwert durch.

orguggema aktiv_icon

00:19 Uhr, 21.09.2013

Also im ernst, was ist das denn für ein Käse? Natürlich ist der Grenzwert gegen unendlich mit einer Asymptote verknüpft? Auch nach der Polynomdivision wird eine Grenzwertbetrachtung für

x \to \infty

durchgeführt. Wieso sollte sonst

\frac{1}{x - 1}

wegfallen?
Also echt mal.. pfff

orguggema aktiv_icon

00:28 Uhr, 21.09.2013

Zitat Wikipedia:
Ist p(x) eine Gerade, der sich f(x) beim Grenzübergang nach

\infty

oder

- \infty

beliebig annähert, d.h. gilt

lim_{x \to \infty} [f (x) - p (x)] = 0

oder

lim_{x \to - \infty} [f (x) - p (x)] = 0

dann nennt man

p (x)

eine schräge Asymptote von

f (x)

herbert1 aktiv_icon

10:42 Uhr, 21.09.2013

Hallo,

dann nun etwas ausführlicher...
ich komme noch einmal auf meine erste Antwort

14 : 09

Uhr zurück.

Es liegt an Deiner Umformung

lim \frac{x - 1 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}} = lim \frac{x - 1}{1}

Die Argumentation, die Du zuletzt anführtest, wollte ich hören.

Bei der Grenzwertbetrachtung musst Du den ganzen Term berücksichtigen,
Du darfst nicht willkürlich für einzelne Teile die Grenzwertbetrachtung durchführen und dann weglassen, so wie Du es hier mit

\frac{1}{x}

getan hast.

Du solltest Dir die entsprechenden Grenzwertsätze noch einmal ansehen.

Zu Atlantik und seiner Antwort auf meinen Beitrag.
Die Regel von de l'Hospital erlaubt unter bestimmten Voraussetzungen die Anwendung von Ableitungsfunktionen zur Bestimmung von Grenzwerten.
Die Anwendung von de l'hospital läßt keine Aussagen über Asymptoten zu.

Also nochmals:

lim \frac{x - 1 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}} = lim \frac{x - 1}{1}

ist falsch !

Kleine Korrektur:

. .

. ich sollte besser sagen,
die Umformung ist so nicht zulässig.

orguggema aktiv_icon

14:18 Uhr, 21.09.2013

Also zunächst mal: Ich habe nie etwas von l’Hôpital gesagt, ich wollte ja auch nie einen GrenzWERT berechnen - dieser ist bei schrägen Asymptoten definitionsgemäß

\infty

. (Ehrlich gesagt habe ich l’Hôpital glaube noch nie bei Grenzübergängen nach

\infty

verwendet, nur bei Grenzwerten an ganz bestimmten Punkten - z.B. bei der Spaltfunktion an

x = 0

. Aber ich merk mir ja auch nicht alles...)
Eine Grenzwertberechnung, bzw. ein Grenzübergang ins Unendliche ist eine Asymptote ja trotzdem.

Zur Umformung: Das Weglassen von Termen wie

\frac{1}{x}

\frac{1}{x^{2}}

etc. ist bei der Grenzwertbetrachtung doch gängige Praxis. Letztendlich tut man bei dem erfolgreichen Ansatz nach der Polynomdivision ja auch nichts anderes:

l i m_{x \to \infty} \frac{x^{2} - x + 1}{x - 1} = l i m_{x \to \infty} [x + \frac{1}{x - 1}] = x + 0

Dieses Prinzip angewendet auf die Summe meines Zählers:

l i m_{x \to \infty} [x - 1 + \frac{1}{x}] = x - 1

Und im Nenner steht entsprechend

1

.

Das heißt der Zähler an sich verläuft definitiv schräg asymptotisch auf

x - 1

zu (wenn nicht, dann wäre die andere Lösung ja ebenso falsch) und der Nenner wird im Unendlichen definitiv

1

. Und die Gerade

x - 1

dividiert durch

1

... nunja was bleibt da noch zu sagen? Das Ausklammern von

x

in Zähler und Nenner hat den Gesamtterm ja auch nicht verändert... ich begreife es nicht.
Warum kann ich das nicht machen? Das muss doch einen anderen Grund haben als "geht halt nicht", der Fehler muss doch durch die Verletzung einer bestimmten Regel passieren. Was genau ist denn an der Umformung falsch? Es muss ja irgendwie am Bruchstrich liegen...

Ach ich glaub ich geb auf. Ich war nur so völlig geplättet weil es so locker von der Hand ging und das Ergebnis so plausibel aussah.

(PS: Hä? Wieso steht das

x \to \infty

mal direkt drunter und mal nur runtergesetzt?)

herbert1 aktiv_icon

15:21 Uhr, 21.09.2013

Ich melde mich jetzt zu dem Thema das letzte Mal.

Es gilt der Satz:

wenn

lim a_{n} = a

und

lim b_{n} = b,

dann

(!)

gilt

lim (a_{n} + b_{n}) = lim a_{n} + lim b_{n} = a + b

beachte:

a, b

müssen in

R

liegen.

Du beachtest bei der Umformung diese Voraussetzungen nicht.

bei Deiner Umformung streben der linke und der rechte Term gegen unendlich.
Daher "stimmt" diese Gleichheit...
Aber durch diese Art Deiner Grenzwertbetrachtung erhälst Du keine Aussagen mehr zur Asymptoten der Funktion.

Ein anderes Beispiel, das es vielleicht etwas deutlicher macht

Es gilt auch:

lim (x - 1) = lim 3 x

für

x

gegen unendlich
.. und mit dem letzten Term erhälst Du auch keine Aussage zur Asymptoten.

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