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Stationäre Punkte (Nullstellen) von f(x,y)

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Funktionalanalysis

Funktionen

Tags: Differentiation, Funktion, Funktionalanalysis, Nullstellen

Klausi123 aktiv_icon

10:36 Uhr, 26.06.2014

Eine Funktion:

f (x, y) : x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x \cdot y^{2} + y^{3} - 3 x - 21 y

hat 4 stationäre Punkte die bestimmt werden sollen. Das heißt ja nicht anderes als die Funktion partiell nach

x

und

y

abzuleiten und dann die Nullstellen der Ableitungen zu bestimmen.

{f'}_{X} (x, y) = 3 x^{2} - 6 x \cdot y + 3 y^{2} - 3

{f'}_{y} (x, y) = - 3 x^{2} + 6 x \cdot y + 3 y^{2} - 21

3 x^{2} - 6 x \cdot y + 3 y^{2} - 3 = 0

- 3 x^{2} + 6 x \cdot y + 3 y^{2} - 21 = 0

jetzt habe ich also ein Gleichungssystem bei dem ich nicht sicher bin wie ich es lösen kann. Bei linearen Gleichungssystemen gibt es ja zwei Möglichkeiten:

1 .)

Ich löse eine der beiden Gleichungen nach

x

oder

y

auf und setze diesen Ausdruck dann in die andere Gleichung ein. Das funktioniert hier ja nicht, da es sich um quadratische Gleichungen handelt.

2 .)

Das andere Verfahren habe ich noch nie angewendet. Hier zieht man eine Gleichung von der anderen ab und eliminiert so eine Variable.

Kann ich das zweite Verfahren auch bei anderen Gleichungssystemen (also Gleichungssystemen höherer Ordnung) anwenden? Das Einsetzungsverfahren funkioniert nur bei linearen Gleichungen oder sehe ich das falsch?

Mit Methode zwei erhalte ich:

3 x^{2} - 6 x \cdot y + 3 y^{2} - 3 - 3 x^{2} + 6 x \cdot y + 3 y^{2} - 21

\Rightarrow 6 y^{2} - 24 = 0 | + 24

\Rightarrow 6 y^{2} = 24 | : 6

\Rightarrow y^{2} = 4 |

√

\Rightarrow y = \pm 2

Das setze ich nun in beide Gleichungen ein und kann so mein

x

ausrechnen. Bin ich soweit richtig vorgegangen?

Danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Allgemeine Sinusfunktion
Einführung Funktionen
Nullstellen
Nullstellen bestimmen

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DrBoogie aktiv_icon

10:42 Uhr, 26.06.2014

Ja, alles richtig.

Klausi123 aktiv_icon

11:09 Uhr, 26.06.2014

Okay Danke, also kann ich das Einsetzungsverfahren bei linearen Gleichungen anwenden und das Eliminationsverfahren bei Gleichungen höherer Ordnung, verstanden :-)

DrBoogie aktiv_icon

11:43 Uhr, 26.06.2014

Du kannst beide Verfahren in beiden Fällen einsetzen, aber bei nichtlinearen Systemen ist die "Einsetzungsmethode" oft unangenehm zu rechnen.

Klausi123 aktiv_icon

12:49 Uhr, 26.06.2014

Vielen Dank! :-)

Klausi123 aktiv_icon

16:46 Uhr, 26.06.2014

Bei folgendem Gleichungssystem komme ich nicht weiter

G′_x = −2x−3y

= 0

G′_y

= - 3 x - 3 + 3 y^{2} = 0

Hier ist ja nun eine lineare und eine quadratische Gleichung vorhanden. Nun bringt es mir ja wenig wenn ich die Gleichungen addiere, oder?

Ich habe zunächst mal die lineare Gleichung nach

x

umgestellt und erhalte

x = - \frac{3}{2} \cdot y

Wenn ich das in die quadratische Gleichung einsetze erhalte ich

\frac{9}{2} \cdot y - 3 + 3 y^{2}

,was ja eine quadratische Gleichung ist, deren Nullstellen ich mit dem TR berechnen kann. Da erhalte ich

- 2

und

\frac{1}{2}

als Nullstellen. Nun habe ich mein

y

und kann das in die erste Gleichung

- 2 x - 3 y = 0

einsetzen und nach

y

auflösen. Da erhalte ich einmal

x = 3

wenn ich

- 2

einsetze und

x = - 0,75

wenn ich

\frac{1}{2}

einsetze.

Laut Lösung ist aber nur der Punkt

(3, - 2)

korrekt. Wo habe ich einen Fehler gemacht?

DrBoogie aktiv_icon

16:52 Uhr, 26.06.2014

"Wo habe ich einen Fehler gemacht?"

Nirgendwo. Beide Paare lösen das System. Vielleicht gab's noch irgendwelche Einschränkungen?

Klausi123 aktiv_icon

17:03 Uhr, 26.06.2014

Nein, keine mehr. Dann hat die Lösung wohl einen Fehler. Vielen Dank.

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