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Stetigkeit /Supremumsnorm/Integral

Universität / Fachhochschule

Mengentheoretische Topologie

Tags: Integral, Stetigkeit, supremumsnorm

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11:05 Uhr, 03.05.2008

Sei R[a,b] der Vektorraum aller regulierten Funktionen x:[a,b] $\to$ R, versehen mit der Norm:

${| x |}_{\infty} = \sup_{a < t < b} | x (t) | .$

Zeigen Sie, dass die Abbildung I: R[a,b] $\to$ R mit I(x)= $\int_{a}^{b} {x (t)}^{2} d t$ stetig ist.

1.) Wenn ich eine Funktion integriere, müsste doch automatisch eine stetige Funktion rauskommen, da Stetigkeit Voraussetzung für Differenzierbarkeit ist.

2.)Mit der Supremumsnorm erhalte ich für x(t) doch eine konstante Funktion, da ich mir die höchste Stufe von |x(t)| suche. Eine Konstante zuerst quadriert und dann integriert ergibt eine Gerade, welche von Natur aus stetig ist.

Was muss ich da also groß zeigen oder wo ist mein Denkfehler?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

hagman aktiv_icon

11:53 Uhr, 03.05.2008

1)

Du sollst nich zeigen, dass die Funktion

f (z) = \int_{a}^{z} x (t) d t

stetig ist, sondern die Abbildung, die einer Funktion

x \in ℝ [a, b]

den Zahlenwert I(x)

:= \int_{a}^{b} x (t) d t

zuordnet.
Grob gesagt: Wenn

x_{1}

und

x_{2}

zwei solche Funktionen sind, die sich kaum unterscheiden, dann unterscheiden sich I(x_1) und I(x_2) auch kaum. Im ersten Fall ist "kaum unterscheiden" im Sinne der Supremumsnorm gemeint, im zweiten Fall im Sinne der Differenz reeller Zahlen.

Zu zeigen ist: Zu jeder Funktion

x \in ℝ [a, b]

und jedem

ε > 0

gibt es ein

δ > 0,

so dass für jede Funktion

y \in ℝ [a, b]

mit

{| x - y |}_{\infty} < δ

stets

| I (x) - I (y) | < ε

folgt.

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12:47 Uhr, 03.05.2008

$| I (x) - I (y) | = | \int_{a}^{b} {x (t)}^{2} d t - \int_{a}^{b} {y (t)}^{2} d t | = | \int_{a}^{b} {x (t)}^{2} - {y (t)}^{2} d t | \leq | \int_{a}^{b} δ (t) * (x (t) + (y (t)) d t | \leq \int_{a}^{b} δ (t) * | x (t) + y (t) | d t \leq \int_{a}^{b} 2 * δ^{2} (t) | y (t) | d t = \int_{a}^{b} 2 * y (t) δ^{2} (t) d t \leq ϵ$

Wenn die Differenz der beiden Treppenfunktionen gegen 0 geht, also die Treppenfunktionen sich immer weiter annähern, wird der Faktor $δ^{2}$ immer kleiner und geht schließlich gegen 0, womit das ganze Integral gegen 0 geht, richtig?

hagman aktiv_icon

12:54 Uhr, 03.05.2008

Ähm, ist jetzt I(x)

= \int_{a}^{b} x (t) d t

oder I(x)

= \int_{a}^{b} x^{2} (t) d t

definiert?

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13:20 Uhr, 03.05.2008

Mit Quadrat, hatte ich oben nur vergessen :)

hagman aktiv_icon

01:42 Uhr, 04.05.2008

Ach so.
Aber das

δ

ist eigentilch nicht von

t

abhängig,

m . a . W

{| x_{1}, x_{2} |}_{\infty} < δ \Leftrightarrow \forall t : | x_{1} (t) - x_{2} (t) | < δ

Somit gilt

| I (x_{1}) - I (x_{2}) | = | \int_{a}^{b} (x_{1}^{2} (t) - x_{2}^{2} (t)) d t |

\leq \int_{a}^{b} | x_{1}^{2} (t) - x_{2}^{2} (t) | d t

= \int_{a}^{b} | (x_{1} (t) - x_{2} (t)) \cdot (x_{1} (t) + x_{2} (t)) | d t

= \int_{a}^{b} | x_{1} (t) - x_{2} (t) | \cdot | (x_{1} (t) + x_{2} (t) | d t

\leq \int_{a}^{b} {| x_{1} - x_{2} |}_{\infty} \cdot {| x_{1} + x_{2} |}_{\infty} d t

= (b - a) \cdot {| x_{1} - x_{2} |}_{\infty} \cdot {| x_{1} + x_{2} |}_{\infty}

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09:48 Uhr, 04.05.2008

Der letzte Schritt sieht mir nach Mittelwetsatz aus. Ist der denn hier zulässig, da es ja nur ein Nährungsverfahren ist?

Und müsste ich vorher nicht noch das |x_1(t)+x_2(t)| in |x_1(t)-x_2(t)|+|2*y(t)| umwandeln, um mit $ϵ δ$ eine Aussage über die Stetigkeit treffen zu können?

hagman aktiv_icon

10:08 Uhr, 04.05.2008

Nach Definition von

{| . |}_{\infty}

ist für alle

t

stets

0 \leq | f (t) | \leq {| f |}_{\infty}

.
Folglich gilt für alle

t

gewiss

0 \leq | x_{1} (t) - x_{2} (t) | \cdot | x_{1} (t) + x_{2} (t) | \leq {| x_{1} - x_{2} |}_{\infty} \cdot {| x_{1} + x_{2} |}_{\infty}

und somit (falls

a \leq b

) aufgrund der Monotonie der Integration

0 \leq \int_{a}^{b} | x_{1} (t) - x_{2} (t) | \cdot | x_{1} (t) + x_{2} (t) | d t \leq \int_{a}^{b} {| x_{1} - x_{2} |}_{\infty} \cdot {| x_{1} + x_{2} |}_{\infty} d t

Rechts steht das Integral über eine konstante Funktion, das ist also

(b - a) \cdot {| x_{1} - x_{2} |}_{\infty} \cdot {| x_{1} + x_{2} |}_{\infty}

.

Zum endgültigen Nachweis der Stetigkeit muss dann in der Tat noch einmal die Dreiecksungleichung für

{| . |}_{\infty}

hervorgeholt werden:
Es ist

{| x_{1} + x_{2} |}_{\infty} = {| 2 x_{1} + (x_{1} - x_{2}) |}_{\infty} \leq 2 {| x_{1} |}_{\infty} + {| x_{1} - x_{2} |}_{\infty}

.
Falls daher

{| x_{1} - x_{2} |}_{\infty} < δ

gilt, folgt

| I (x 1) - I (x 2) | \leq (b - a) \cdot {| x_{1} - x_{2} |}_{\infty} \cdot (2 {| x_{1} |}_{\infty} + {| x_{1} - x_{2} |}_{\infty})

< (b - a) \cdot δ \cdot (2 {| x_{1} |}_{\infty} + δ)

.
Unsere Aufgabe ist also, zu jedem

ε > 0

ein

δ > 0

zu finden, so dass

(b - a) \cdot δ \cdot (2 {| x_{1} |}_{\infty} + δ) < ε

gilt (wohlgemerkt zu fest vorgegebenem

x_{1}

). Dies geht aber, weil die linke Seite für

δ \to 0

auch gegen 0 geht.

DerGraf aktiv_icon

13:58 Uhr, 04.05.2008

Danke für deine Hilfe.Jetzt sind alle Unklarheiten beseitigt.Einen schönen Sonntag wünsche ich dir noch!

LG DerGraf

hagman aktiv_icon

14:28 Uhr, 04.05.2008

gleichfalls.

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